《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】 我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？

答案： 提示：对于
(1)，$a_1 = 7$，$a_2 = 7 × 7 = 7^2$，$a_3 = 7 × 7 × 7 = 7^3$，$·s$，于是 $a_n = 7^n$，$n \in \{1,2,3,4,5\}$；
对于
(2)，$a_n = (\frac{1}{2})^{n - 1}$，$n \in \mathbf{N}^*$；
对于
(3)，$a_n = 2025$，$n \in \{x \mid x$ 是本班学生的学号$\}$；
对于
(5)，$a_n = (-\frac{1}{2})^n$，$n \in \mathbf{N}^*$.

如果数列${a_n}$的第$n$项$a_n$与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

答案： 序号n 通项公式

【例2】 写出下面各数列的一个通项公式：
(1)$\frac{1}{2}，\frac{3}{4}，\frac{7}{8}，\frac{15}{16}，\frac{31}{32}，·s$；
(2)$6，66，666，6 666，·s$；
(3)$-1，\frac{3}{2}，-\frac{1}{3}，\frac{3}{4}，-\frac{1}{5}，\frac{3}{6}，·s$；
(4)$\frac{3}{2}，1，\frac{7}{10}，\frac{9}{17}，·s$.

答案： 解：
(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为$2^1$，$2^2$，$2^3$，$2^4$，$2^5$，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}$.
(2)这个数列的前4项可写为$\frac{6}{9}(10 - 1)$，$\frac{6}{9}(10^2 - 1)$，$\frac{6}{9}(10^3 - 1)$，$\frac{6}{9}(10^4 - 1)$，
所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{6}{9}(10^n - 1) = \frac{2}{3}(10^n - 1)$.
(3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，
所以它的一个通项公式为
$a_n = \begin{cases} -\frac{1}{n}, n = 2k - 1, k \in \mathbf{N}^*, \\ \frac{3}{n}, n = 2k, k \in \mathbf{N}^*. \end{cases}$
(4)将数列变形为$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{5}$，$\frac{7}{10}$，$\frac{9}{17}$，$·s$，
对于分子3,5,7,9,$·s$，可得分子的通项公式为$b_n = 2n + 1$，
对于分母2,5,10,17,$·s$，联想到数列1,4,9,16，$·s$，可得分母的通项公式为$c_n = n^2 + 1$，
所以原数列的一个通项公式为$a_n = \frac{2n + 1}{n^2 + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$.

【跟踪训练2】 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)$1，3，7，15，31，·s$；
(2)$\frac{1}{2}，\frac{4}{5}，\frac{9}{10}，\frac{16}{17}，\frac{25}{26}，·s$；
(3)$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，·s$；
(4)$2×3，3×4，4×5，5×6，·s$.

答案： 解：
(1)由$1 = 2^1 - 1$，$3 = 2^2 - 1$，$7 = 2^3 - 1$，$15 = 2^4 - 1$，$31 = 2^5 - 1$，$·s$
可得$a_n = 2^n - 1$.
(2)由$\frac{1}{2} = \frac{1}{1^2 + 1}$，$\frac{4}{5} = \frac{2^2}{2^2 + 1}$，$\frac{9}{10} = \frac{3^2}{3^2 + 1}$，$\frac{16}{17} = \frac{4^2}{4^2 + 1}$，$·s$
可得$a_n = \frac{n^2}{n^2 + 1}$.
(3)由$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$·s$可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得$a_n = (-1)^n × \frac{1}{2}$.
(4)由$2 × 3 = (1 + 1) × (1 + 2)$，$3 × 4 = (2 + 1) × (2 + 2)$，$4 × 5 = (3 + 1) × (3 + 2)$，$5 × 6 = (4 + 1) × (4 + 2)$，$·s$
可得$a_n = (n + 1)(n + 2)$.