《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题1】 瞬时变化率的几何意义是什么? 它的数学意义又是什么?

答案： 提示：瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率.实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义.

2. 导数
如果当$\Delta x \to 0$时，平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近于一个确定的值，即$\frac{\Delta y}{\Delta x}$有极限，则称$y = f(x)$在$x = x_0$处可导，并把这个确定的值叫做$y = f(x)$在$x=x_0$处的导数(也称为瞬时变化率)，记作$f'(x_0)$或$y'|_{x = x_0}$，即$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

答案： 2.可导 $x=x_0$ 导数 $f'(x_0)$

【例1】 已知函数$y = h(x) = -4.9x^2 + 6.5x + 10$.
(1) 计算从$x = 1$到$x = 1 + \Delta x$的平均变化率，其中$\Delta x$的值为①$2$；②$1$；③$0.1$；④$0.01$；
(2) 根据(1)中的计算，当$\Delta x$越来越小时，函数$h(x)$在区间$[1, 1 + \Delta x]$上的平均变化率有怎样的变化趋势?
(3) 求函数$f(x)$在$x = 1$处的瞬时变化率.

答案： 解：
(1)$\because \Delta y=h(1+\Delta x)-h(1)$
$=-4.9(\Delta x)^2-3.3\Delta x$，
$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3$.
①当$\Delta x=2$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3=-13.1$;
②当$\Delta x=1$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3=-8.2$;
③当$\Delta x=0.1$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3=-3.79$;
④当$\Delta x=0.01$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3=-3.349$.
(2)当$\Delta x$越来越小时，函数$h(x)$在区间$[1,1+$
$\Delta x]$上的平均变化率逐渐变大，并接近于$-3.3$.
(3)$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-4.9\Delta x-3.3$，故函数$f(x)$在$x=1$处
的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(-4.9\Delta x-3.3)=$
$-3.3$.