《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 1】 (1) 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ·s + \frac{1}{2^n - 1} ＜ n (n \in \mathbf{N}^*, n ＞ 1)$ 时, 第一步应验证不等式 (B)
A. $1 + \frac{1}{2} ＜ 2$
B. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 2$
C. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 3$
D. $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ＜ 3$
(2) 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{n-1} = 2^n - 1 (n \in \mathbf{N}^*)$ 的过程如下：
①当 $n = 1$ 时, 左边 $= 1$, 右边 $= 2^1 - 1 = 1$, 等式成立.
②假设当 $n = k (k \in \mathbf{N}^*)$ 时等式成立, 即 $1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k-1} = 2^k - 1$, 则当 $n = k + 1$ 时, $1 + 2 + 2^2 + ·s + 2^{k-1} + 2^k = \frac{1 - 2^{k+1}}{1 - 2} = 2^{k+1} - 1$,
所以当 $n = k + 1$ 时等式也成立. 由此可知对于任何 $n \in \mathbf{N}^*$, 等式都成立. 上述证明, 错误是未用归纳假设.

答案：
(1)B 由题意得，当n=2时，不等式为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2，故选B.
(2)未用归纳假设 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.

【跟踪训练 1】 (1) 对于不等式 $\sqrt{n^2 + n} ＜ n + 1 (n \in \mathbf{N}^*)$, 某同学用数学归纳法的证明过程如下：
①当 $n = 1$ 时, $\sqrt{1^2 + 1} ＜ 1 + 1$, 不等式成立.
②假设当 $n = k (k \geqslant 1$ 且 $k \in \mathbf{N}^*)$ 时, 不等式成立, 即 $\sqrt{k^2 + k} ＜ k + 1$, 则当 $n = k + 1$ 时, $\sqrt{(k + 1)^2 + (k + 1)} = \sqrt{k^2 + 3k + 2} ＜ \sqrt{(k^2 + 3k + 2) + k + 2} = \sqrt{(k + 2)^2} = (k + 1) + 1$,
∴当 $n = k + 1$ 时, 不等式成立,
则上述证法 (D)
A. 过程全部正确
B. $n = 1$ 验证不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 的推理不正确
(2) 用数学归纳法证明不等式 $2^n ＞ (n + 1)^2 (n \in \mathbf{N}^*)$ 时, 初始值 $n_0$ 应等于6.

答案：
(1)D 在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法.
(2)6 由题意，得当n=1时，2¹＜(1+1)²；当n=2时，2²＜(2+1)²；当n=3时，2³＜(3+1)²；当n=4时，2⁴＜(4+1)²；当n=5时，2⁵＜(5+1)²；当n=6时，2⁶＞(6+1)²，所以用数学归纳法证明不等式2ⁿ＞(n+1)²(n∈N*)时，初始值n₀应等于6.

【例 2】 用数学归纳法证明 “$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{3n} \geqslant \frac{5}{6}$” 的过程中, 从 $n = k (k \in \mathbf{N}^*)$ 到 $n = k + 1$ 时, 不等式的左边增加了 (B)

A.$\frac{1}{3k + 1}$
B.$\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2}$
C.$\frac{1}{3k + 3}$
D.$\frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{2}{3k + 3}$

答案： B 用数学归纳法证明不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$≥$\frac{5}{6}$的过程中，
假设n=k(k∈N*)时不等式成立，
左边=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k}$，
则当n=k+1时，
左边=$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{3k}$+$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3(k+1)}$，
∴从n=k(k∈N*)到n=k+1时，不等式的左边增加了
$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3(k+1)}$-$\frac{1}{k+1}$
=$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$-$\frac{2}{3k+3}$.

【跟踪训练 2】 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + ·s + (2n + 1) = (n + 1)(2n + 1)$ 时, 从 “$n = k$” 到 “$n = k + 1$”, 左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).

答案： (2k+2)+(2k+3) 当n=k时，左边共有(2k+1)个连续的自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)，
当n=k+1时，左边共有(2k+3)个连续的自然数相加，
即1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).
所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).