《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 1】 (1) 已知在公差不为 0 的等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}+a_{4}=a_{6}$,$a_{9}=a_{6}^{2}$，则$a_{10} =$$\frac{5}{2}$.
(2) 已知四个数成等差数列，它们的和为 32，它们的平方和为 276，求这四个数.

答案：

【例 1】

(1)$\frac{5}{2}$

设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，$d\neq0$，

$\because a_{2}+a_{4}=a_{6}$，$a_{9}=a_{6}^{2}$，

$\therefore 2a_{1}+4d=a_{1}+5d$，$a_{1}+8d=(a_{1}+5d)^{2}$，

解得$a_{1}=d=\frac{1}{4}$，

则$a_{10}=a_{1}+9d=10×\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$。

(2)解：设这四个数为$a - 3d$，$a - d$，$a + d$，$a + 3d$。

则

$\begin{cases}a - 3d + a - d + a + d + a + 3d = 32\\(a - 3d)^{2}+(a - d)^{2}+(a + d)^{2}+(a + 3d)^{2}=276\end{cases}$

解得$\begin{cases}a = 8\\d = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8\\d = -1\end{cases}$

$\therefore$这四个数为$5$，$7$，$9$，$11$或$11$，$9$，$7$，$5$。

【跟踪训练 1】 (1) 四个数成递增等差数列，中间两项的和为 2，首末两项的积为 -8，求这四个数.
(2) 已知等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} + 3a_{8} + a_{15} = 120$，则$2a_{9} - a_{10} =$24.

答案：
(1)解：设这四个数为$a-3d$，$a-d$，$a+d$，$a+3d$(公差为$2d$)，
依题意得$2a=2$且$(a-3d)(a+3d)=-8$，
即$a=1$，$a^2-9d^2=-8$，
所以$d^2=1$，
所以$d=1$或$d=-1$．
又四个数成递增等差数列，所以$d＞0$，
所以$d=1$，故所求的四个数为$-2$，$0$，$2$，$4$．
(2)24 方法一 $\because a_1+3a_8+a_{15}=120$，
$\therefore 5a_8=120$，
$\therefore a_8=24$，
$\therefore 2a_9-a_{10}=(a_8+a_{10})-a_{10}=a_8=24$．
方法二 $\because a_1+3a_8+a_{15}=120$，
$\therefore a_1+3(a_1+7d)+(a_1+14d)=120$，
$\therefore a_1+7d=24$，
$\therefore 2a_9-a_{10}=a_1+7d=24$．