《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 1】
已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n}=q^{n}$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，且 $a_{4}-a_{2}=72$。
(1) 求实数 $q$ 的值；
(2) 判断 $-81$ 是否为此数列中的项。

答案： 解：
(1)由题意知$q^4 - q^2=72$，
则$q^2=9$或$q^2=-8$（舍去），
$\therefore q=\pm3$.
(2)当$q=3$时，$a_n=3^n$.
显然$-81$不是此数列中的项；
当$q=-3$时，$a_n=(-3)^n$.
令$(-3)^n=-81$，无解，
$\therefore -81$不是此数列中的项.

【问题 1】观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？

答案： 提示：自上而下每一层的钢管数都比上
一层的钢管数多$1$，即$a_1=4$，$a_2=5=4 + 1=a_1+1$，$a_3=6=5 + 1=a_2 + 1$.依此类推：$a_n=a_{n - 1}+1(2\leq n\leq7)$.

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。

答案： 递推公式

【例 2】若数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=2$，$a_{n+1}=\dfrac {1+a_{n}}{1-a_{n}}$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，求 $a_{6}$。

答案： 解：$a_2=\frac{1 + a_1}{1 - a_1}=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$，
$a_3=\frac{1 + a_2}{1 - a_2}=\frac{1 - 3}{1 + 3}=\frac{1}{2}$，
$a_4=\frac{1 + a_3}{1 - a_3}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 1\frac{1}{3}？$（原文此处似乎缺失分数形式完整表达，按计算应为$3/2÷1/2 = 3/2×2=3$，推测原文$a_4 = \frac{1+\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ ，$a_5=\frac{1 + a_4}{1 - a_4}=\frac{1 + 3}{1 - 3}=-2$，
$a_6=\frac{1 + a_5}{1 - a_5}=\frac{1 - 3}{1 - 2}=-3×(-2)?$（原文$a_6=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$，前面$a_5 = 2$计算有误，按递推$a_5=\frac{1 + 3}{1 - 3}=\frac{4}{-2}=-2$，$a_6=\frac{1+( - 2)}{1-( - 2)}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$也不对，重新推导，$a_4=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 3$，$a_5=\frac{1 + 3}{1 - 3}=\frac{4}{-2}=-2$，$a_6=\frac{1+( - 2)}{1-( - 2)}=-\frac{1}{3}$，原文$a_6$计算错误，按原文逻辑应为$a_6=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$（这里假设前面$a_5$按原文$2$计算）。