《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

3. 用数学归纳法证明等式 $1 + 3 + 5 + ·s + (2n - 1) = n^2 (n \in \mathbf{N}^*)$ 的过程中, 第二步假设当 $n = k$ 时等式成立, 则当 $n = k + 1$ 时应得到 (B)

A.$1 + 3 + 5 + ·s + (2k + 1) = k^2$
B.$1 + 3 + 5 + ·s + (2k + 1) = (k + 1)^2$
C.$1 + 3 + 5 + ·s + (2k + 1) = (k + 2)^2$
D.$1 + 3 + 5 + ·s + (2k + 1) = (k + 3)^2$

答案： 3.B 由数学归纳法知第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)².

4. 用数学归纳法证明关于 $n$ 的恒等式, 当 $n = k$ 时, 表达式为 $1 × 4 + 2 × 7 + ·s + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$, 则当 $n = k + 1$ 时, 表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)².

答案： 4.1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)² 当n=k+1时，
表达式左侧为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)，
表达式右侧为(k+1)(k+2)²，
则当n=k+1时，表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)².