《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】 设 $f(x)=x^3,g(x)=x$，计算$[f(x)g(x)]'$ 与 $f'(x)g'(x)$，它们是否相等？
$[\frac{f(x)}{g(x)}]'$与$\frac{f'(x)}{g'(x)}$是否相等？

答案： 提示：因为$[f(x)g(x)]'=(x^{4})'=4x^{3}$，
$f'(x)g'(x)=3x^{2}·1=3x^{2}$，
$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=(x^{2})'=2x$，
$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{3x^{2}}{1}=3x^{2}$，
所以$[f(x)g(x)]'\neq f'(x)g'(x)$，
$[\frac{f(x)}{g(x)}]'\neq\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

1.$[f(x)· g(x)]'=$，特别地，$[cf(x)]'=$.

答案： 1.$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ $cf'(x)$

【例2】 求下列函数的导数：
(1)$y=x^2 + x\ln x$；
(2)$y=\frac{\ln x}{x^2}$；
(3)$y=\frac{e^x}{x}$；
(4)$y=(2x^2 - 1)(3x + 1)$.

答案： 解：
(1)$y'=(x^{2}+x\ln x)'=(x^{2})'+(x\ln x)'$
$=2x+(x)'\ln x+x(\ln x)'$
$=2x+\ln x+x·\frac{1}{x}$
$=2x+\ln x+1$.
(2)$y'=(\frac{\ln x}{x^{2}})'=\frac{(\ln x)'· x^{2}-\ln x·(x^{2})'}{x^{4}}$
$=\frac{\frac{1}{x}· x^{2}-2x\ln x}{x^{4}}=\frac{1 - 2\ln x}{x^{3}}$
(3)$y'=(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x})'=\frac{(\mathrm{e}^{x})'x-\mathrm{e}^{x}(x)'}{x^{2}}=\frac{\mathrm{e}^{x}· x-\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$
(4)方法一 $y'=[(2x^{2}-1)(3x + 1)]'=(2x^{2}-1)'(3x + 1)+(2x^{2}-1)(3x + 1)'$
$=(4x)(3x + 1)+(2x^{2}-1)×3$
$=12x^{2}+4x+6x^{2}-3$
$=18x^{2}+4x - 3$.
方法二 $\because y=(2x^{2}-1)(3x + 1)=6x^{3}+2x^{2}-3x - 1$，
$\therefore y'=(6x^{3}+2x^{2}-3x - 1)'$
$=(6x^{3})'+(2x^{2})'-(3x)'-(1)'$
$=18x^{2}+4x - 3$.

【跟踪训练2】 (1)(多选)当函数 $y=\frac{x^2+a^2}{x}(a＞0)$在 $x=x_0$处的导数为0时，那么 $x_0$可以是 ()
A. $a$
B. 0
C. $-a$
D. $a^2$
(2)已知 $g(x)=x^2f(x)$且 $f(1)=f'(1)=1$，则 $g'(1)=$.

答案：
(1)AC $y'=(\frac{x^{2}+a^{2}}{x})'=\frac{2x· x-(x^{2}+a^{2})}{x^{2}}=\frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2}}$，由$x_{0}^{2}-a^{2}=0$得$x_{0}=\pm a$.
(2)3 $\because g'(x)=(x^{2})'f(x)+x^{2}f'(x)=2xf(x)+x^{2}f'(x)$，
$\therefore g'(1)=2f(1)+f'(1)=2×1 + 1=3$.