《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练1】 已知函数$f(x) = -\frac{6}{x}$.
(1) 函数$f(x)$在区间$[1, 1.5]$，$[1, 1.1]$上的平均变化率各是多少?
(2) 函数$f(x)$在$x = 1$处的瞬时变化率是多少?

答案： 解：
(1)$\because f(x)=-\frac{6}{x}$，
$\therefore f(1)=-6,f(1.5)=-4,f(1.1)=-\frac{60}{11}$，
$\therefore$该函数在区间$[1,1.5]$上的平均变化率为
$\frac{f(1.5)-f(1)}{1.5-1}=\frac{2}{0.5}=4$，
在区间$[1,1.1]$上的平均变化率为$\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1-1}=$
$\frac{-\frac{60}{11}+6}{0.1}=\frac{60}{11}$.
(2)函数$f(x)$在$x=1$处的瞬时变化率为
$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{6}{1+\Delta x}-(-6)}{\Delta x}=$
$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6\Delta x}{\Delta x(1+\Delta x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6}{1+\Delta x}=6$.

【例2】（链接教材P65例1）
(1) 求函数$y = x + \frac{1}{x}$在$x = 1$处的导数；
(2) 求函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$在$x = 1$处的导数.

答案： 解：
(1)$\because \Delta y=(1+\Delta x)+\frac{1}{1+\Delta x}-(1+\frac{1}{1})$
$=\Delta x-1+\frac{1}{1+\Delta x}-1$
$=\Delta x-1+\frac{1-(1+\Delta x)}{1+\Delta x}$
$=\Delta x-1+\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}$
$=\Delta x+\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}$
$=\Delta x-\frac{\Delta x}{1+\Delta x}$
$=\frac{(\Delta x-1)(\Delta x+1)+1}{1+\Delta x}$
$=\frac{(\Delta x)^2}{1+\Delta x}$，
$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{1+\Delta x}$.
故当$\Delta x$无限趋近于$0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近于$0$，
即$y'\big|_{x=1}=0$.
(2)$\because \Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1$
$=\frac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}=\frac{1-1-\Delta x}{(1+\sqrt{1+\Delta x})\sqrt{1+\Delta x}}$
$=\frac{-\Delta x}{(1+\sqrt{1+\Delta x})\sqrt{1+\Delta x}}$，
$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{(1+\sqrt{1+\Delta x})\sqrt{1+\Delta x}}$，
$\therefore f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2}$.

【跟踪训练2】 求函数$y = x - \frac{1}{x}$在$x = 1$处的导数.

答案： 解：$\because \Delta y=(1+\Delta x)-\frac{1}{1+\Delta x}-(1-\frac{1}{1})=\Delta x+\frac{\Delta x}{1+\Delta x}$，
$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+\frac{\Delta x}{1+\Delta x}}{\Delta x}=1+\frac{1}{1+\Delta x}$，
$\therefore \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(1+\frac{1}{1+\Delta x})=2$.
从而$y'\big|_{x=1}=2$.