《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$为各项都是正数的等比数列，$a_{6}^{2}=9a_{1}· a_{9}$，则$\frac{a_{3}+a_{6}}{a_{4}+a_{7}}$等于 (D)

A.$3$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： D 设正项等比数列$\{a_{n}\}$的公比为q，由$a_{6}^{2}=9a_{1}· a_{9}，$得$(a_{1}q^{5})^{2}=9a_{1}· a_{1}q^{8}，$即$q^{2}=9，$而q＞0，
解得q=3，所以$\frac{a_{3}+a_{6}}{a_{4}+a_{7}}=\frac{a_{3}+a_{6}}{qa_{3}+qa_{6}}=\frac{1}{q}=\frac{1}{3}.$

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$为各项均为正数的等比数列，$a_{2}$和$a_{6}$是方程$x^{2}-9x + 10 = 0$的两个根，则$\lg a_{1}+\lg a_{2}+·s+\lg a_{7}$等于 (C)

A.$\frac{5}{2}$
B.$3$
C.$\frac{7}{2}$
D.$4$

答案： C 由题意得$a_{2}a_{6}=a_{4}^{2}=10，$$\{a_{n}\}$为各项均为正数的等比数列，故$a_{4}=\sqrt{10}，$且$a_{1}a_{7}=a_{2}a_{6}=a_{3}a_{5}=a_{4}^{2}，$故$\lg a_{1}+\lg a_{2}+·s+\lg a_{7}=\lg(a_{1}a_{2}·s a_{7})=\lg a_{4}^{7}=7\lg a_{4}=7\lg\sqrt{10}=\frac{7}{2}.$

3. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1},a_{13}$是方程$x^{2}-13x + 9 = 0$的两根，则$\frac{a_{2}a_{12}}{a_{7}}$的值为 (B)

A.$\sqrt{13}$
B.$3$
C.$\pm\sqrt{13}$
D.$\pm3$

答案： B 因为$a_{1},a_{13}$是方程$x^{2}-13x+9=0$的两根，
所以$a_{1}a_{13}=9,a_{1}+a_{13}=13，$所以$a_{1}＞0,a_{13}＞0，$又$\{a_{n}\}$为等比数列，则$a_{7}=a_{1}q^{6}＞0，$又$a_{1}a_{13}=a_{2}a_{12}=a_{7}^{2}=9，$所以$a_{7}=3$或$a_{7}=-3($舍去)，
所以$\frac{a_{2}a_{12}}{a_{7}}=a_{7}=3.$

4. 若正项等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}a_{5}=4$，当$\frac{1}{a_{2}}+\frac{4}{a_{4}}$取最小值时，数列$\{ a_{n}\}$的公比是2.

答案： 4.2 设正项等比数列$\{a_{n}\}$的公比为q(q＞0)，
因为$a_{1}a_{5}=4，$所以由等比数列的性质可得$a_{2}a_{4}=4，$
因此$\frac{1}{a_{2}}+\frac{4}{a_{4}}\geq2\sqrt{\frac{1}{a_{2}}·\frac{4}{a_{4}}}=2，$
当且仅当$\frac{1}{a_{2}}=\frac{4}{a_{4}}，$即$\frac{a_{4}}{a_{2}}=q^{2}=4，$即q=2(负值舍去)时，等号成立.
所以数列$\{a_{n}\}$的公比是2.

【例 1】（链接教材 P31 例 4）从盛满 $a(a＞1)$ 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后添满水摇匀，再倒出 1 升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
(1)第 $n$ 次操作后溶液的体积分数是多少?
(2)当 $a=2$ 时至少应操作几次后才能使溶液的体积分数低于 $10 \%$？
注：体积分数是指溶质的体积占全部溶液体积的百分数.

答案： 解：
(1)由题意知开始时溶液的体积分数为1，
设第n次操作后溶液的体积分数为$a_n$，则第1次操作后溶液的体积分数为
$a_1 = 1 - \frac{1}{a}$，第$n+1$次操作后溶液的体积分数为
$a_{n+1} = a_n(1 - \frac{1}{a})$，
所以$\{a_n\}$是首项为$a_1 = 1 - \frac{1}{a}$，公比为$q = 1 - \frac{1}{a}$的等比数列，
所以$a_n = a_1q^{n-1} = (1 - \frac{1}{a})^n$，
即第n次操作后溶液的体积分数是$(1 - \frac{1}{a})^n$。
(2)当$a = 2$时，由$a_n = (\frac{1}{2})^n ＜ \frac{1}{10}$，解得$n \geq 4$。
故至少操作4次后才能使溶液的体积分数低于10%。