《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题4】等差数列前$n$项和$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$是关于$n$的二次函数吗？它可以写成什么形式？

答案： 提示:$S_n=\frac{d}{2}n^2+{(a_1-\frac{d}{2})}{n}$.当$d=0$时，$S_n$不是关于n的二次函数；当$d\neq0$时，$S_n$是关于n的二次函数.

【例2】已知数列$\{ a_n\}$的前$n$项和为$S_n = n^2 + n - 1$，求数列$\{ a_n\}$的通项公式，并判断它是不是等差数列.

答案： 解:当n=1时，$a_1=S_1=1$,
当n≥2时，$a_n=S_n-S_{n-1}$
=$(n^2+n-1)-[(n-1)^2+(n-1)-1]=2n$.
又$a_1=1$不满足$a_n=2n$，
$\therefore$数列$\{a_n\}$的通项公式是$a_n=\begin{cases} 1,n=1, \\ 2n,n\geq2,n\in N^*. \end{cases}$
$\because a_2-a_1=4-1=3\neq a_3-a_2=2$,
$\therefore$数列$\{a_n\}$中每一项与前一项的差不是同一个常数，
$\therefore\{a_n\}$不是等差数列，数列$\{a_n\}$是从第二项起以2为公差的等差数列.

【跟踪训练2】若数列$\{ a_n\}$的前$n$项和$S_n = 2n^2 - 3n$，求数列$\{ a_n\}$的通项公式，并判断数列$\{ a_n\}$是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.

答案： 解:当n=1时，$a_1=S_1=-1$;
当n≥2时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-2(n-1)^2+3(n-1)=4n-5$,
经检验，当n=1时，$a_1=-1$满足上式，
故$a_n=4n-5$.
数列$\{a_n\}$是等差数列，证明如下：
因为$a_{n+1}-a_n=4(n+1)-5-4n+5=4$，
所以数列$\{a_n\}$是等差数列.

1. 在等差数列$\{ a_n\}$中，$S_{10} = 120$，那么$a_1 + a_{10} =$ (B)

A.12
B.24
C.36
D.48

答案： 1.B
∵$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=120,\therefore a_1+a_{10}=24$.

2. 在等差数列$\{ a_n\}$中，已知$a_1 = 10$，$d = 2$，$S_n = 580$，则$n$等于 (C)

A.10
B.15
C.20
D.30

答案： 2.C　因为$S_n=na_1+\frac{1}{2}n(n-1)d$
$=10n+\frac{1}{2}n(n-1)×2=n^2+9n$，
所以$n^2+9n=580$，
解得$n=20$或$n=-29$(舍去).

3. 设等差数列$\{ a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_5$，$a_{25}$是方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两根，则$S_{29}$等于 (D)

A.60
B.116
C.29
D.58

答案： 3.D　因为$a_5,a_{25}$是方程$x^2-4x+3=0$的两根，故可得$a_5+a_{25}=4$;又因为$\{a_n\}$是等差数列，故$S_{29}=\frac{29(a_1+a_{29})}{2}=\frac{29(a_5+a_{25})}{2}=58$.

4. 数列$\{ a_n\}$的前$n$项和$S_n = -n^2 + n$，则它的通项公式$a_n =$$-2n+2(n\in N^*)$.

答案： 4.$-2n+2(n\in N^*)$ 当n=1时，$a_1=S_1=-1+1=0$;
当n≥2且$n\in N^*$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(-n^2+n)-[-(n-1)^2+(n-1)]=-2n+2$,经检验，n=1也适合该式.
故$a_n=-2n+2(n\in N^*)$.