《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例1】 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,$a_{1}=t$,点$(S_{n},a_{n + 1})$在直线$y = 3x + 1$上.
(1)当实数$t$为何值时，数列$\{ a_{n}\}$是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设$b_{n} = \log_{4}a_{n + 1}$，$c_{n} = a_{n} + b_{n}$，$T_{n}$是数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和，求$T_{n}$.

答案： 解：
(1)因为点$(S_{n},a_{n+1})$在直线$y=3x+1$上，所以$a_{n+1}=3S_{n}+1$，当$n \geqslant 2$时，$a_{n}=3S_{n-1}+1$。于是$a_{n+1}-a_{n}=3(S_{n}-S_{n-1}) \Rightarrow a_{n+1}-a_{n}=3a_{n}$ $\Rightarrow a_{n+1}=4a_{n}$。又当$n=1$时，$a_{2}=3S_{1}+1 \Rightarrow a_{2}=3a_{1}+1=3t+1$，所以当$t=1$时，$a_{2}=4a_{1}$，此时，数列$\{a_{n}\}$是等比数列。
(2)由
(1)，可得$a_{n}=4^{n-1}$，$a_{n+1}=4^{n}$，所以$b_{n}=\log_{4}a_{n+1}=n$，$c_{n}=4^{n-1}+n$，那么$T_{n}=c_{1}+c_{2}+·s+c_{n}$ $=(4^{0}+1)+(4^{1}+2)+·s+(4^{n-1}+n)$ $=(4^{0}+4^{1}+·s+4^{n-1})+(1+2+·s+n)$ $=\frac{4^{n}-1}{3}+\frac{n(n+1)}{2}$。

【跟踪训练1】已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+a_{2}=10$，$a_{5}-a_{3}=4$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)设等比数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{2}=a_{3}$，$b_{3}=a_{7}$，设$c_{n}=a_{n}+b_{n}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$.

答案： 解：
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，则$d=\frac{a_{5}-a_{3}}{2}=2$。由$a_{1}+a_{2}=10$，得$a_{1}+a_{1}+2=10$，解得$a_{1}=4$。所以$a_{n}=4+2(n-1)=2n+2$。
(2)设等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，则$b_{2}=a_{3}=8$，$b_{3}=a_{7}=16$，所以$q=\frac{b_{3}}{b_{2}}=\frac{16}{8}=2$，所以$b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=4$，所以$b_{n}=4 × 2^{n-1}=2^{n+1}$。则$c_{n}=a_{n}+b_{n}=2n+2+2^{n+1}$，则$S_{n}=[4+6+·s+(2n+2)]+\frac{4(1-2^{n})}{1-2}$ $=\frac{n(4+2n+2)}{2}+4(2^{n}-1)=2^{n+2}+n^{2}+3n-4$。