《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例2】 某地现有居民住房的总面积为$a$，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以$10\%$的住房增长率建新住房.
(1) 如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积$x$是多少(可取$1.1^{10} \approx 2.6$)?
(2) 在(1)的条件下，10年后还未拆除的旧住房总面积占当地住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?

答案： 解：
(1)根据题意，可知1年后住房总面积
为$1.1a - x$；
2年后住房总面积为$1.1(1.1a - x) - x = 1.1^{2}a - 1.1x - x$；
3年后住房总面积为$1.1(1.1^{2}a - 1.1x - x) - x = 1.1^{3}a - 1.1^{2}x - 1.1x - x$；
……
10年后住房总面积为$1.1^{10}a - 1.1^{9}x - 1.1^{8}x - … - 1.1x - x = 1.1^{10}a - \frac{1.1^{10} - 1}{1.1 - 1}x \approx 2.6a - 16x$.
由题意，得$2.6a - 16x = 2a$，解得$x = \frac{3}{80}a$.
(2)所求百分比为$\frac{\frac{a}{2} - \frac{3}{80}a × 10}{2a} = \frac{1}{16} \approx 6.3\%$.

【跟踪训练2】 小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清. 商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8％，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(精确到0.1，参考数据：$1.008^{12} \approx 1.10$)

答案： 解：设小华每期付款$x$元，第$k$个月
末付款后的欠款本利为$A_{k}$元，则：
$A_{2} = 5000 × (1 + 0.008)^{2} - x = 5000 × 1.008^{2} - x$，
$A_{4} = A_{2}(1 + 0.008)^{2} - x = 5000 × 1.008^{4} - 1.008^{2}x - x$，
…，
$A_{12} = 5000 × 1.008^{12} - (1.008^{10} + 1.008^{8} + … + 1.008^{2} + 1)x = 0$，
解得$x = \frac{5000 × 1.008^{12}}{1 + 1.008^{2} + 1.008^{4} + … + 1.008^{10}} = \frac{5000 × 1.008^{12}}{\frac{1 - (1.008^{2})^{6}}{1 - 1.008^{2}}} \approx 883.5$.
故小华每期付款金额约为$883.5$元.