《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1.(多选)等比数列$\{ a_n\}$满足$a_5=4a_3$,则$\frac{a_1+a_2}{a_2+a_3}$的值可能为 (CD)

A.-2
B.2
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.CD 由$a_5=a_3q^2=4a_3$，
得$q=\pm2$，
而$\frac{a_1+a_2}{a_2+a_3}=\frac{a_1+a_2}{q(a_1+a_2)}=\frac{1}{q}$，
所以$\frac{a_1+a_2}{a_2+a_3}=\pm\frac{1}{2}$.

2. 已知数列$\{ a_n\}$对任意的$n\geqslant2$且$n\in\mathbf{N}^*$,满足$a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}$,且$a_1=1,a_2=2$,则数列$\{ a_n\}$的通项公式为 (B)

A.$a_n=2^n$
B.$a_n=2^{n-1}$
C.$a_n=n$
D.$a_n=2^n-n$

答案： 2.B 由题意可知数列$\{a_n\}$是等比数列，首项$a_1=1$，公比$q=2$，所以$a_n=2^{n-1}$.

3. 若互不相等的实数$a,b,c$成等差数列,$a$是$b,c$的等比中项,且$a+3b+c=10$,则$a$的值是 (D)

A.1
B.-1
C.-3
D.-4

答案： 3.D 由题意，得$\begin{cases}2b=a+c,\\a^2=bc,\\a+3b+c=10,\end{cases}$
解得$a=-4,b=2,c=8$.

4. 已知数列$\{ a_n\}$满足$a_{n+1}=\lambda a_n+2$,若$\{ a_n+3\}$是等比数列,则公比$\lambda=$$\frac{5}{3}$.
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答案： 4.$\frac{5}{3}$ $\because\{a_n+3\}$是等比数列，$a_{n+1}=\lambda a_n+2$，
$\therefore a_{n+1}+3=\lambda(a_n+3)$，
即$a_{n+1}=\lambda a_n+3\lambda-3$，
$\therefore3\lambda-3=2$，$\therefore\lambda=\frac{5}{3}$.

【问题1】若数列$\{ a_{n}\}$的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？

答案： 提示：不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.

判定与证明等比数列的方法
(1) 定义法：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} =$q$(n\in\mathbf{N}^{*}$且$n\geqslant2$，$q$为不为$0$的常数).
(2) 等比中项法：$a_{n}^{2} =$$a_{n-1}a_{n+1}$$(n\in\mathbf{N}^{*}$且$n\geqslant2)$.
(3) 通项公式法：$a_{n} =$$a_{1}q^{n-1}$$=\frac{a_{1}}{q}· q^{n}=A· q^{n}(A\neq0)$.

答案： $(1)q (2)a_{n-1}a_{n+1} (3)a_{1}q^{n-1}$

【例1】设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若对于任意的正整数$n$，都有$S_{n}=2a_{n}-3n$，设$b_{n}=a_{n}+3$. 求证：数列$\{ b_{n}\}$是等比数列，并求$a_{n}$.

答案： 解：由$S_{n}=2a_{n}-3n，$得$S_{n+1}=2a_{n+1}-3(n+1)，$
两式相减，得$S_{n+1}-S_{n}=2a_{n+1}-3(n+1)-2a_{n}+3n，$
所以$a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_{n}-3，$
即$a_{n+1}=2a_{n}+3，$
$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{a_{n+1}+3}{a_{n}+3}=\frac{2a_{n}+6}{a_{n}+3}=2$对一切正整数n都成立，
所以数列$\{b_{n}\}$是等比数列.
由已知得$S_{1}=2a_{1}-3，$即$a_{1}=2a_{1}-3，$
所以$a_{1}=3，$所以$b_{1}=a_{1}+3=6，$
即$b_{n}=6·2^{n-1}=3·2^{n}，$故$a_{n}=3·2^{n}-3.$