《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 设$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3$，则$S_{5} =$(A)

A.5
B.7
C.9
D.11

答案：

1. A 因为 $ a_{1}+a_{5}=2a_{3} $，

所以 $ a_{1}+a_{3}+a_{5}=3a_{3}=3 $，

所以 $ a_{3}=1 $，所以 $ S_{5}=\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}=5a_{3}=5 $。

2. 若等差数列$\{ a_{n}\}$的前$m$项的和$S_{m}$为20，前$3m$项的和$S_{3m}$为90，则它的前$2m$项的和$S_{2m}$为(C)

A.30
B.70
C.50
D.60

答案：

2. C

∵等差数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m}$也成等差数列，

∴$2(S_{2m}-S_{m})=S_{m}+S_{3m}-S_{2m}$，

∴$2(S_{2m}-20)=20 + 90 - S_{2m}$，

∴$S_{2m}=50$。

3. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放(B)

A.4000元
B.4500元
C.4800元
D.5000元

答案：

3. B

由已知可知等差数列中$S_{10}=2000$，$S_{20}=3500$，

因为$S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20}$成等差数列，

所以$2(S_{20}-S_{10})=S_{10}+(S_{30}-S_{20})$，

所以$2×(3500 - 2000)=2000+(S_{30}-3500)$，

解得$S_{30}=4500$。

4. 若等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{7} + a_{8} + a_{9} ＞ 0,a_{7} + a_{10} ＜ 0$，则当$n =$8时，数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和最大.

答案：

4. 8

∵$a_{7}+a_{8}+a_{9}=3a_{8}＞0$，
∴$a_{8}＞0$。

∵$a_{7}+a_{10}=a_{8}+a_{9}＜0$，
∴$a_{9}＜0$。

故前8项的和最大。

【问题1】 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题：
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有
九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何?”
构成数列：$9 , 9^2 , 9^3 , 9^4 , 9^5 , 9^6 , 9^7 , 9^8$；
(2)《庄子·天下》中提到:“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
$\frac{1}{2}',\frac{1}{4}',\frac{1}{8}',\frac{1}{16}',\frac{1}{32}',·s$；
(3)$-\frac{1}{2}$的$n$次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：$-\frac{1}{2}',\frac{1}{4}',-\frac{1}{8}',\frac{1}{16}',·s$；
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？

答案： 【问题1】 提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于
(1)我们发现$\frac{9^2}{9}=9$，$\frac{9^3}{9^2}=9$，$\frac{9^4}{9^3}=9$，⋯，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于
(2)$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{-1}}=\frac{1}{2}$，⋯；对于
(3)$\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$，⋯；也有相同的取值规律.