《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例1】（1）设数列$\{ a_{n}\} $是以2为首项,1为公差的等差数列,$\{ b_{n}\} $是以1为首项,2为公比的等比数列,则$a_{b_{1}}+a_{b_{2}}+a_{b_{3}}+·s +a_{b_{10}}=$1033.
（2）记正项等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n},$已知$a_{1}=1,a_{2}a_{3}=S_{5}.$
①求数列$\{ a_{n}\} $的通项公式;
②已知等比数列$\{ b_{n}\} $满足$b_{1}=a_{1},b_{2}=a_{2}$,若$b_{m}=a_{782}$,求数列$\{ b_{n}\} $的前m项和$T_{m}.$

答案：
(1)1033
∵数列$a_n$是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=2+(n - 1)×1=n + 1，
∵$b_n$是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴$b_n=1×2^{n - 1}=2^{n - 1}，$
∴$a_{b_n}=2^{n - 1}+1，$
∴$a_{b_1}+a_{b_2}+a_{b_3}+⋯+a_{b_{10}}=\frac{1 - 2^{10}}{1 - 2}+10 = 1033.$
(2)解：①设等差数列$a_n$的公差为d，
∵$a_1 = 1,a_2a_3 = S_5，$
∴$(1 + d)(1 + 2d)=5+\frac{5×4d}{2}，$
解得$d=-\frac{1}{2}$或d = 4.
∵d＞0,
∴d = 4，
∴a_n=1 + 4(n - 1)=4n - 3.
②由①知$a_2 = 5，$
∴等比数列$b_n$的公比$q=\frac{b_2}{b_1}=5，$
∴$b_n=b_1q^{n - 1}=5^{n - 1}.$
由$b_m=a_{782}$得，$5^{m - 1}=4×782 - 3，$
解得m = 6，
∴$T_m=T_6=\frac{1×(1 - 5^6)}{1 - 5}=3906.$

[跟踪训练1] 已知等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,等比数列$\{ b_{n}\} $的前n项和为$T_{n},a_{1}=$$-1,b_{1}=1,a_{2}+b_{2}=2.$
（1）若$a_{3}+b_{3}=5$,求$\{ b_{n}\} $的通项公式;
（2）若$T_{3}=21$,求$S_{3}.$

答案： 解：设$a_n$的公差为d，$b_n$的公比为q，
则$a_n=-1+(n - 1)·d,b_n=q^{n - 1}.$
由$a_2 + b_2 = 2，$得d + q = 3.①
(1)由$a_3 + b_3 = 5，$得$2d + q^2 = 6.②$
联立①和②，解得$\begin{cases}d = 3,\\q = 0\end{cases}($舍去)或$\begin{cases}d = 1,\\q = 2.\end{cases}$
因此$b_n$的通项公式为$b_n=2^{n - 1}.$
(2)由$b_1 = 1，$$T_3 = 21$得$q^2 + q - 20 = 0，$
解得q = -5或q = 4.
当q = -5时，由①得d = 8，则$S_3 = 21.$
当q = 4时，由①得d = -1，则$S_3 = -6.$