《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 2】 求下列函数的导数：
(1)$y = \ln(e^x + x^2)$；
(2)$f(x)=\cos 2x + e^{2x}$；
(3)$y=\sin^4 x+\cos^4 x$；
(4)$y=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$；
(5)$y=\sin 2x\cos 3x$；
(6)$y = x^3e^{\cos x}$.

答案： 解：
(1)令$u = e^x + x^2$，
则$y = \ln u$.
$\therefore y'_x = y'_u · u'_x = \frac{1}{u} · (e^x + x^2)' = \frac{1}{e^x + x^2} · (e^x + 2x) = \frac{e^x + 2x}{e^x + x^2}$.
(2)$f'(x) = -2\sin 2x + 2e^{2x}$.
(3)$\because y = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x · \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{4}(1 - \cos 4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
$\therefore y' = -\sin 4x$.
(4)设$y = u^{-\frac{1}{2}}$，$u = 1 - x^2$，
则$y'_x = (u^{-\frac{1}{2}})'(1 - x^2)' = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}} · (-2x) = x(1 - x^2)^{-\frac{3}{2}}$.
(5)$\because y = \sin 2x\cos 3x$，
$\therefore y' = (\sin 2x)'\cos 3x + \sin 2x(\cos 3x)' = 2\cos 2x\cos 3x - 3\sin 2x\sin 3x$.
(6)$y' = (x^3)'e^{\cos x} + x^3(e^{\cos x})' = 3x^2e^{\cos x} + x^3e^{\cos x} · (\cos x)' = 3x^2e^{\cos x} - x^3e^{\cos x}\sin x$.

【跟踪训练 2】（链接教材 P79 例 6）求下列函数的导数：
(1)$y=(4 - 3x)^2$；
(2)$y=\cos(2x-\frac{\pi}{4})$；
(3)$y=\ln(4x - 1)$；
(4)$y = x^2\cos 2x$.

答案： 解：
(1)设$y = u^2$，$u = 4 - 3x$，
则$y'_u = 2u$，$u'_x = -3$，
于是$y'_x = y'_u · u'_x = 2(4 - 3x) · (-3) = 18x - 24$，即$y' = 18x - 24$.
(2)设$y = \cos u$，$u = 2x - \frac{\pi}{4}$，
则$y'_u = -\sin u$，$u'_x = 2$，
于是$y'_x = y'_u · u'_x = -2\sin(2x - \frac{\pi}{4})$，
即$y' = -2\sin(2x - \frac{\pi}{4})$.
(3)设$y = \ln u$，$u = 4x - 1$，
即$y'_u = \frac{1}{u}$，$u'_x = 4$，
于是$y'_x = y'_u · u'_x = \frac{4}{4x - 1}$，
即$y' = \frac{4}{4x - 1}$.
(4)$y' = 2x\cos 2x - 2x^2\sin 2x$.