《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例2】数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = 4^{n} - 3$.求$\{ a_{n}\}$的通项公式,并判断$\{ a_{n}\}$是否是等比数列.

答案： 解：方法一当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(4^{n}-3)-(4^{n-1}-3)=3×4^{n-1}$.
当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=4^{1}-3=1$，不适合上式.
$\therefore a_{n}=\begin{cases}1,n=1,\\3×4^{n-1},n\geq2.\\\end{cases}$
由于$a_{1}=1,a_{2}=12,a_{3}=48$，显然$a_{1},a_{2},a_{3}$不是等比数列，
即$\{a_{n}\}$不是等比数列.
方法二由等比数列$\{b_{n}\}$的公比$q\neq1$时的前n项和$S_{n}=A· q^{n}+B$满足的条件为$A=-B$，
对比$S_{n}=4^{n}-3,1\neq3$，
故$\{a_{n}\}$不是等比数列.

【跟踪训练2】若数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = t^{n} - 1(t \in \mathbf{R})$,则此数列是(D)

A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.以上说法均不对

答案： D当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=t-1$，
当$n\geq2$时，
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=t^{n}-t^{n-1}=t^{n-1}(t-1)$，
当$t=1$时，$a_{n}=0$，
所以$\{a_{n}\}$是等差数列；
当$t=0$时，$\{a_{n}\}$为非等差数列，非等比数列；
当$t\neq1,t\neq0$时，$a_{n}=t^{n-1}(t-1)$，
所以$\{a_{n}\}$是等比数列.

1.在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1} = 2$,$a_{2} = 1$,则$S_{100} =$(C)

A.$4 - 2^{100}$
B.$4 + 2^{100}$
C.$4 - 2^{- 98}$
D.$4 - 2^{- 100}$

答案： 1.C$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{2}$.
$S_{100}=\frac{a_{1}(1-q^{100})}{1-q}=\frac{2×[1-(\frac{1}{2})^{100}]}{1-\frac{1}{2}}=4×(1-2^{-100})=4-2^{-98}$.

2.已知$\{ a_{n}\}$是首项为$1$的等比数列,$S_{n}$是其前$n$项和,且$9S_{3} = S_{6}$,则数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$的前$5$项和等于(C)

A.$\frac{15}{8}$或$5$
B.$\frac{31}{16}$或$5$
C.$\frac{31}{16}$
D.$\frac{15}{8}$

答案： 2.C设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，显然$q\neq1$，
由已知得$\frac{9(1-q^{3})}{1-q}=\frac{1-q^{6}}{1-q}$，解得$q=2$，
$\therefore$数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
$\therefore$前5项和为$\frac{1×[1-(\frac{1}{2})^{5}]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}$.

3.等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} = m · 4^{n - 1} + t$(其中$m,t$为常数),则$\frac{m}{t}$等于 (B)

A.$4$
B.$- 4$
C.$1$
D.$- 1$

答案： 3.B方法一$a_{1}=S_{1}=m+t$，
$a_{2}=S_{2}-S_{1}=3m,a_{3}=S_{3}-S_{2}=12m$，
因为$\{a_{n}\}$为等比数列，
则$a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}$，所以$9m^{2}=12m(m+t)$，
即$m=-4t$，故$\frac{m}{t}=-4$.
方法二$S_{n}=m·4^{n-1}+t=\frac{1}{4}m·4^{n}+t$，
因为$\{a_{n}\}$是等比数列，故$\frac{1}{4}m=-t$，则$\frac{m}{t}=-4$.

4.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,若$S_{n} = 4 × 3^{n - 1} + t$,则$t =$$-\frac{4}{3}$.

答案： 4.$-\frac{4}{3}$设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q(q\neq1)$，则$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a_{1}q^{n}}{1-q}+\frac{a_{1}}{1-q}$
即等比数列$\{a_{n}\}$的前n项和$S_{n}$要满足$S_{n}=Aq^{n}-A(Aq\neq0)$，
又因为$S_{n}=4×3^{n-1}+t=\frac{4}{3}×3^{n}+t$，所以$t=-\frac{4}{3}$.