《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 若等比数列$\{ a_n\}$的首项为$a_1$,公比为$q$,则$a_n$=$a_1q^{n-1}$$(n\in\mathbf{N}^*)$.

答案： 1.$a_1q^{n-1}$

2. 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当$q＞0$且$q\neq1$时,等比数列$\{ a_n\}$的第$n$项$a_n$是函数$f(x)=\frac{a_1}{q}· q^x(x\in\mathbf{R})$当$x=n$时的函数值,即$a_n=f(n)$.
(2)任给函数$f(x)=ka^x$($k,a$为常数,$k\neq0$,$a＞0$且$a\neq1$),则$f(1)=ka$,$f(2)=ka^2$,$·s$,$f(n)=ka^n$,$·s$构成一个等比数列$\{ ka^n\}$,其首项为 ,公比为 .

答案： 2.
(1)$a_n=f(n)$
(2)$ka$ $a$

【例3】 在等比数列$\{ a_n\}$中：
(1)$a_1=1,a_4=8$,求$a_n$;
(2)$a_n=625,n=4,q=5$,求$a_1$;
(3)$a_2+a_5=18,a_3+a_6=9,a_n=1$,求$n$.

答案： 【例3】 解：
(1)因为$a_4=a_1q^3$，
所以$8=q^3$，所以$q=2$，
所以$a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}$.
(2)$a_1=\frac{a_n}{q^{n-1}}=\frac{625}{5^{4-1}}=5$，故$a_1=5$.
(3)因为$\begin{cases}a_2+a_5=a_1q+a_1q^4=18,&①\\a_3+a_6=a_1q^2+a_1q^5=9,&②\end{cases}$
由②$÷$①，得$q=\frac{1}{2}$，从而$a_1=32$.
又$a_n=1$，
所以$32×(\frac{1}{2})^{n-1}=1$，
即$2^{6-n}=2^0$，故$n=6$.

【跟踪训练3】 已知等比数列$\{ a_n\}$的各项均为正数,$5a_3,a_2,3a_4$成等差数列,则数列$\{ a_n\}$的公比是 (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.-2

答案： 【跟踪训练3】 C 设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.
因为$5a_3,a_2,3a_4$成等差数列，
所以$2a_2=5a_3+3a_4$，
即$2a_1q=5a_1q^2+3a_1q^3$.
因为$a_1\neq0,q\neq0$，
所以$3q^2+5q-2=0$，
解得$q=\frac{1}{3}$或$q=-2$(舍去).

【例4】 设$\{ a_n\}$是等比数列,则“$a_1＜a_2$”是“数列$\{ a_n\}$是递增数列”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 【例4】 B 设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，
由$a_1＜a_2$，可得$a_1(q-1)＞0$，
解得$\begin{cases}a_1＞0,\\q＞1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1＜0,\\q＜1(q\neq0).\end{cases}$
此时数列$\{a_n\}$不一定是递增数列；
若数列$\{a_n\}$为递增数列，
可得$\begin{cases}a_1＞0,\\q＞1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1＜0,\\0＜q＜1.\end{cases}$
所以“$a_1＜a_2$”是“数列$\{a_n\}$为递增数列”的必要不充分条件.

【跟踪训练4】 已知数列$\{ a_n\}$是等比数列,且公比大于0,则“$q＞1$”是“数列$\{ a_n\}$是递增数列”的 (D)

A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 【跟踪训练4】 D 当$a_1＜0,q＞1$时，数列$\{a_n\}$为递减数列，即充分性不成立；
当“数列$\{a_n\}$是递增数列”时，可能是$a_1＜0,0＜q＜1$，即必要性不成立；
即“$q＞1$”是“数列$\{a_n\}$是递增数列”的既不充分也不必要条件.