《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例5】 分形几何学又被称为"大自然的几何学",是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,简单的说,分形就是研究无限复杂具备相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,正三角形的边长为1,在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形,得到图2中的图形;对图2中的各边做相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形,记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有外围线段长的和为$c_{n}$,则满足$c_{1}+c_{2}+c_{3}+·s +c_{n}＞81$的最小正整数n的值为9.
参考数据:$lg2\approx 0.3010,lg3\approx 0.4771.$

答案： 9 由题意知每个图形中每条线段的长度相等.
设第n个图形中线段的长度为a_n，
则$a_n=(\frac{1}{3})^{n - 1}，$
设第n个图形中线段的条数为b_n，
则$b_n=3×4^{n - 1}，$
∴$c_n=a_nb_n=3×(\frac{4}{3})^{n - 1}，$
则$c_1 + c_2 + c_3 + ⋯+c_n=\frac{3×[1 - (\frac{4}{3})^n]}{1 - \frac{4}{3}}$
$=9×[(\frac{4}{3})^n - 1]，$
令$9×[(\frac{4}{3})^n - 1]＞81，$
得$(\frac{4}{3})^n＞10，$
则$n＞\frac{1}{\lg\frac{4}{3}}=\frac{1}{2\lg2 - \lg3}≈8.006，$
即满足不等式的最小正整数n的值为9.

此类题目不仅考查学生对基本知识和技能的掌握情况,同时也考查学生的数学应用意识.

答案：

[跟踪训练5] 我国南北朝数学家何承天发明的"调日法"是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac {b}{a}$和$\frac {d}{c}(a,$$b,c,d∈N^{*})$,则$\frac {b+d}{a+c}$是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道$\sqrt {5}=$$2.236067·s$,令$\frac {11}{5}＜\sqrt {5}＜\frac {12}{5}$,则第一次用"调日法"后得$\frac {23}{10}$是$\sqrt {5}$的更为精确的过剩近似值,即$\frac {11}{5}＜\sqrt {5}＜\frac {23}{10}$,记$a_{1}=\frac {23}{10}$.若每次都取最简分数,继续使用"调日法",将用"调日法"得到的$\sqrt {5}$的一列近似分数记为数列$\{ a_{n}\} $,则$a_{5}=$$\frac {29}{13}$.

答案： 第一次用“调日法”后得
$a_1=\frac{23}{10}＜\sqrt{5}＜\frac{11}{5}；$
$a_2=\frac{\frac{11}{5}+23}{5 + 10}=\frac{34}{15}，$
则第二次用“调日法”后得$\frac{11}{5}＜\sqrt{5}＜\frac{34}{15}；$
$a_3=\frac{\frac{11}{5}+34}{5 + 15}=\frac{45}{20}=\frac{9}{4}，$
则第三次用“调日法”后得$\frac{11}{5}＜\sqrt{5}＜\frac{9}{4}；$
$a_4=\frac{\frac{11}{5}+9}{5 + 4}=\frac{20}{9}，$
则第四次用“调日法”后得$\frac{20}{9}＜\sqrt{5}＜\frac{9}{4}；$
$a_5=\frac{\frac{20}{9}+9}{9 + 4}=\frac{29}{13}.$