《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 2】 (链接教材 P16 例 3) 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了如图所示的两个不同的信息图. 甲的调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第 1 年的每个养鸡场 1 万只上升到第 6 年的每个养鸡场 2 万只. 乙的调查表明：该县养鸡场的个数由第 1 年的 30 减少到第 6 年的 10.
请根据提供的信息回答问题.
(1) 求该县第 2 年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数；
(2) 该县 6 年中哪一年的养鸡业规模最大? 请说明理由.

答案： 解：由图甲可知，从第1年到第6年该县养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为$\{a_n\}$，公差为$d_1$，且$a_1=1$，$a_6=2$；
由图乙可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为$\{b_n\}$，公差为$d_2$，且$b_1=30$，$b_6=10$；从第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记为数列$\{c_n\}$，则$c_n=a_nb_n$．
(1)由$a_1=1$，$a_6=2$得$\begin{cases}a_1=1,\\a_1+5d_1=2,\end{cases}$
所以$\begin{cases}a_1=1,\\d_1=0.2,\end{cases}$所以$a_2=1.2$．
由$b_1=30$，$b_6=10$得$\begin{cases}b_1=30,\\b_1+5d_2=10,\end{cases}$
所以$\begin{cases}b_1=30,\\d_2=-4,\end{cases}$所以$b_2=26$．
故$c_2=a_2b_2=1.2×26=31.2$．
综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年平均出产鸡31.2万只．
(2)因为$a_n=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1\leq n\leq6且n\in N^*)$，
$b_n=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1\leq n\leq6且n\in N^*)$，
所以$c_n=a_nb_n=(0.2n+0.8)(-4n+34)$
$=-0.8n^2+3.6n+27.2(1\leq n\leq6且n\in N^*)$．
上式可以看作$c_n$关于$n$的二次函数关系式．
因为二次函数$f(x)=-0.8x^2+3.6x+27.2$的图象的对称轴为直线$x=\frac{9}{4}$，
所以当$n=2$时，$c_n$最大，即第2年该县的养鸡业规模最大．

【跟踪训练 2】 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$(单位:cm)成等差数列，对应的宽为$b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}$(单位:cm)，且长与宽之比都相等，已知$a_{1} = 288$,$a_{5} = 96$,$b_{1} = 192$，则$b_{3} =$128.

答案： 128 由题意，五种规格党旗的长$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$(单位：$cm$)成等差数列，设公差为$d$，因为$a_1=288$，$a_5=96$，可得$d=\frac{a_5-a_1}{5-1}=\frac{96-288}{4}=-48$，可得$a_3=288+(3-1)×(-48)=192$，又由长与宽之比都相等，且$b_1=192$，可得$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_3}{b_3}$，所以$b_3=\frac{a_3· b_1}{a_1}=\frac{192×192}{288}=128$．

【例 3】 若关于$x$的方程$x^{2} - x + m = 0$和$x^{2} - x + n = 0(m,n \in \mathbf{R}$，且$m \neq n)$的四个根组成首项为$\frac{1}{4}$的等差数列，则数列的公差$d =$$\frac{1}{6}$，$m + n$的值为$\frac{31}{72}$.

答案： $\frac{1}{6}$ $\frac{31}{72}$ 设$x^2-x+m=0$，$x^2-x+n=0$的根分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，则$x_1+x_2=x_3+x_4=1$(且$1-4m＞0$，$1-4n＞0$)．
设数列的首项为$x_1$，则根据等差数列的性质，数列的第4项为$x_2$．由题意知$x_1=\frac{1}{4}$，
$\therefore x_2=\frac{3}{4}$，数列的公差$d=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{4-1}=\frac{1}{6}$，
$\therefore$数列的中间两项分别为$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，$\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$．
$\therefore x_1· x_2=m=\frac{3}{16}$，$x_3· x_4=n=\frac{5}{12}×\frac{7}{12}=\frac{35}{144}$．
$\therefore m+n=\frac{3}{16}+\frac{35}{144}=\frac{31}{72}$．

【跟踪训练 3】 已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_{4} = 15$,$a_{7} = 27$，则过点$P(3,a_{3})$,$Q(5,a_{5})$的直线斜率为 (A)

A.4
B.$\frac{1}{4}$
C.-4
D.$-\frac{1}{4}$

答案： A 由数列$\{a_n\}$是等差数列，知$a_n$是关于$n$的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点$(n$，$a_n)$，因此过点$P(3,a_3)$，$Q(5,a_5)$的直线斜率即过点$(4,15)$，$(7,27)$的直线斜率，
所以所求直线的斜率$k=\frac{27-15}{7-4}=4$．