《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

3. 观察下列式子：
$1 × 2 = \frac{1}{3}(1 × 2 × 3 - 0 × 1 × 2)$；
$2 × 3 = \frac{1}{3}(2 × 3 × 4 - 1 × 2 × 3)$；
$3 × 4 = \frac{1}{3}(3 × 4 × 5 - 2 × 3 × 4)$；
$\ldots$
根据规律，则 $1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ·s + 2025 × 2026$ 等于 (B)

A.$\frac{1}{3} × 2024 × 2025 × 2026$
B.$\frac{1}{3} × 2025 × 2026 × 2027$
C.$\frac{1}{3}(2024 × 2025 × 2026 - 1 × 2 × 3)$
D.$\frac{1}{3}(2025 × 2026 × 2027 - 1 × 2 × 3)$

答案： 3.B 由规律可得$n × (n+1)=\frac{1}{3}[n × (n+1) × (n+2)-(n-1) × n × (n+1)]$，
所以$1 × 2+2 × 3+3 × 4+·s+2025 × 2026$
$=\frac{1}{3}(1 × 2 × 3-0 × 1 × 2+2 × 3 × 4-1 × 2 × 3+3 × 4 × 5-2 × 3 × 4+·s+2025 × 2026 × 2027-2024 × 2025 × 2026)=\frac{1}{3}(2025 × 2026 × 2027-0 × 1 × 2)=\frac{1}{3} × 2025 × 2026 × 2027$.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n} = \begin{cases}1,n = 1, \\ \log_{n}(n + 1),n \geqslant 2,n \in \mathbf{N}^{*},\end{cases}$定义使 $a_{1} · a_{2} · a_{3} · ·s · a_{k}(k \in \mathbf{N}^{*})$ 为整数的 $k$ 叫做“幸福数”，则区间$\lbrack 1,2024\rbrack$内所有“幸福数”的和为 ______ .

答案： 4.2036 当$n \geqslant 2$时，$a_{n}=\log_{n}(n+1)=\frac{\lg (n+1)}{\lg n}$，
所以$a_{1} · a_{2} · ·s · a_{k}=1 × \frac{\lg 3}{\lg 2} × \frac{\lg 4}{\lg 3} × ·s × \frac{\lg (k+1)}{\lg k}=\log_{2}(k+1)$，若满足$a_{1} · a_{2} · ·s · a_{k}$为正整数，
则$k+1=2^{m}$，$m \in N^{*}$，即$k=2^{m}-1$，
所以在$[1,2024]$内的所有“幸福数”的和为
$2^{1}-1+2^{2}-1+2^{3}-1+·s+2^{10}-1=\frac{2 ×(1-2^{10})}{1-2}-10=2036$.

【问题 1】 如果你从袋子里拿出 5 个小球,发现全部都是绿色的,能否判断袋子里面的小球都是绿色的?

答案： 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.

【问题 2】 在多米诺骨牌游戏中,如何保证所有的骨牌全部倒下?

答案： 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.

一般地,证明一个与正整数 $n$ 有关的命题,
可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 $n = n_0 (n_0 \in \mathbf{N}^*)$ 时命题成立.
(2)(归纳递推)以“当n=k$(k \in \mathbf{N}^*, k \geqslant n_0)$n=k+1时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n₀
开始的所有正整数 $n$ 都成立,这种证明方法称为数学归纳法.

答案：
(2)n=k n=k+1 n₀