《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母$q$表示(显然$q\neq0$).

答案： 2前 比 同一个 公比

【例1】 判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.
(1)$1,\frac{1}{3}',\frac{1}{6}',\frac{1}{9}',\frac{1}{12}',·s$;
(2)$ \frac{2}{3}',(\frac{2}{3})^2',(\frac{2}{3})^3',(\frac{2}{3})^4',·s$;
(3)$1,0,1,0,1,0,·s$;
(4)$1,-4,16,-64,256,·s$;
(5)$a,a,a,a,a,·s$.

答案： 【例1】 解：
(1)不是等比数列；
(2)是等比数列，公比为$\frac{2}{3}$；
(3)不是等比数列；
(4)是等比数列，公比为$-4$；
(5)当$a=0$时，不是等比数列，当$a\neq0$时是等比数列，公比为1.

【跟踪训练1】 (多选)下面四个数列中是等比数列的有 (CD)

A.$1,1,2,4,8,16,32,64$
B.在数列$\{ a_n\}$中,已知$\frac{a_2}{a_1}=2,\frac{a_3}{a_2}=2$
C.数列$\{ a_n\}$的通项公式为$a_n=3×2^n$
D.在数列$\{ a_n\}$中,$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$,其中$n\in\mathbf{N}^*$

答案： 【跟踪训练1】 CD A中，$\frac{a_2}{a_1}=1\neq\frac{a_3}{a_2}=2$，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列.
B中，不一定是等比数列，当数列$\{a_n\}$的项数超过3时，只知道前三项的每一项与前一项的比值相等，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”.
C中，因为当$n\geq2$时，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{3×2^n}{3×2^{n-1}}=2$(常数)，所以数列$\{a_n\}$为等比数列，且公比$q=2$.
D中，在数列$\{a_n\}$中，对任意$n\in N^*$，有$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$恒成立，那么$\{a_n\}$是等比数列.