《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 1】 我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”是几乎每家每户都会进行的迎新活动，而窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.如图是一幅宁波北仑新碶民间的剪纸作品.北仑疫情期间，一位艺术家居家隔离，他把一张厚度(单位：$cm$)为 $0.0125$ 的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度(单位：$mm$)是1mm.

答案： 1mm 由题设，对折了三次后半成品厚度为$0.0125 × 2^3 = 0.1( cm)$，即1mm。

【问题 1】 若等差数列 $a_n=2 n+1$，那么数列 $\left\{2^{2 n+1}\right\}$ 是等差或等比数列吗？

答案： 提示：设$b_n = 2^{2n+1}$，则$b_n - b_{n-1} = 2^{2n+1} - 2^{2n-1} = 2^{2n-1}(4 - 1) = 3 × 2^{2n-1}$不是常数，故$\{b_n\}$不是等差数列；而$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{2^{2n+1}}{2^{2n-1}} = 2^{2n+1 - (2n - 1)} = 2^2 = 4$，是常数，故$\{b_n\}$是等比数列。

【问题 2】 若等比数列 $a_n=2^n$，则 $\left\{\lg a_n\right\}$ 为等差数列吗？

答案： 提示：设$b_n = \lg a_n$，若等比数列$a_n = 2^n$，则$b_n = \lg a_n = \lg 2^n = n \lg 2$是关于n的一次函数，是等差数列。

【例 2】 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 2，公差为 $-1$ 的等差数列，令 $b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{a_n}$，求证数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列，并求其通项公式.
【反思感悟】-
在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.特别注意等比数列是否有意义.
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答案： 证明：依题意得，$a_n = 2 + (n - 1) × (-1) = 3 - n$，
于是$b_n = (\frac{1}{2})^{3 - n}$，$b_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
而$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(\frac{1}{2})^{3 - n - 1}}{(\frac{1}{2})^{3 - n}} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$。
数列$\{b_n\}$是首项为$\frac{1}{4}$，公比为2的等比数列，
通项公式为$b_n = \frac{1}{4} × 2^{n - 1} = 2^{n - 3}$。