《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 2】 某城市近 10 年间房价年均上涨率为 10％，房价$p$（单位：万元）与时间$t$（单位：年）有如下函数关系：$p(t)=p_{0}(1+10\%)^{t}$，假定$p_{0}=1$，那么在第 5 个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到$0.01$万元/年）？
参考数据：$1.1^{5} \approx 1.611$，$\ln 1.1 \approx 0.095$.

答案： 解：由题意得$p'(t)=1.1^t\ln1.1$，
所以$p'(5)=1.1^5\ln1.1 \approx 1.611 × 0.095 \approx 0.15$(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.

【例 3】 (1)(链接教材 P75T4)求曲线$y=\sqrt{x}$在点$B(1,1)$处的切线方程；
(2)求曲线$y=\ln x$的斜率等于 4 的切线方程.

答案： 解：
(1)设所求切线的斜率为$k$.
$\because y'=(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$，$k=y'|_{x=1}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$曲线$y=\sqrt{x}$在点$B(1,1)$处的切线方程为
$y-1=\frac{1}{2}(x-1)$，
即$x-2y+1=0$.
(2)设切点坐标为$(x_0,y_0)$.
$\because y'=\frac{1}{x}$，曲线$y=\ln x$在点$(x_0,y_0)$处的切线的斜率等于4，
$\therefore y'|_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}=4$，得$x_0=\frac{1}{4}$，
$\therefore y_0=-\ln4$，$\therefore$切点为$(\frac{1}{4},-\ln4)$，
$\therefore$所求切线方程为$y+\ln4=4(x-\frac{1}{4})$，
即$4x-y-1-\ln4=0$.

【跟踪训练 3】 (1)函数$y=x^{3}$在点$(2,8)$处的切线方程为 (A)
A.$y=12x-16$
B.$y=12x+16$
C.$y=-12x-16$
D.$y=-12x+16$
(2)已知曲线$y=\ln x$的一条切线方程为$x-y+c=0$，则$c$的值为$-1$.

答案：
(1)A 因为$y'=3x^2$，
当$x=2$时，$y'=12$，
故切线的斜率为12，
切线方程为$y=12x-16$.
(2)$-1$ 设切点为$(x_0,\ln x_0)$，
由$y=\ln x$得$y'=\frac{1}{x}$
因为曲线$y=\ln x$在$x=x_0$处的切线方程为$x-y+c=0$，其斜率为1.
所以$y'|_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}=1$，
即$x_0=1$，
所以切点为$(1,0)$.
所以$1-0+c=0$，
所以$c=-1$.