《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题3】设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公差为$d$，你能发现$S_{n}$与$S_{2n}$的关系吗？

答案： 【问题 3】提示：$S_{2n}=a_{1}+a_{2}+··· +a_{n}+a_{n+1}+··· +a_{2n}=S_{n}+(a_{1}+nd)+(a_{2}+nd)+··· +(a_{n}+nd)=2S_{n}+n^{2}d$，同样我们发现$S_{3n}=3S_{n}+3n^{2}d$，这里出现了一个数列$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}=S_{n}+n^{2}d$，$S_{3n}-S_{2n}=S_{n}+2n^{2}d$，$···$，是一个公差为$n^{2}d$的等差数列。

【例3】已知$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$S_{10} = 100,S_{100} = 10$，求$S_{110}$.

答案：

【例 3】解:方法一 设等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$,公差为$d$,

$\because S_{10}=100,S_{100}=10$,

$\therefore \left\{\begin{array}{l} 10a_{1}+\frac {10×(10 - 1)}{2}d = 100,\\ 100a_{1}+\frac {100×(100 - 1)}{2}d = 10,\end{array}\right.$

解得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=\frac {1099}{100},\\ d = -\frac {11}{50}.\end{array}\right.$

$\therefore S_{110}=110a_{1}+\frac {110×(110 - 1)}{2}d$

$=110×\frac {1099}{100}+\frac {110×109}{2}×(-\frac {11}{50})=-110$.

方法二 $\because S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20},·s,S_{100}-S_{90},S_{110}-S_{100},·s$成等差数列,设公差为$d$,

$\therefore$该数列的前 10 项和为$10×100+\frac {10×9}{2}d = S_{100}=10$,解得$d = -22$,

$\therefore$前 11 项和$S_{110}=11×100+\frac {11×10}{2}×(-22)=-110$.

方法三 由$\{\frac {S_{n}}{n}\}$也是等差数列,构造新的等差数列$b_{1}=\frac {S_{10}}{10}=10,b_{10}=\frac {S_{100}}{100}=\frac {1}{10}$,

则$d=\frac {1}{9}(b_{10}-b_{1})=\frac {1}{9}×(-\frac {99}{10})=-\frac {11}{10}$,

所以$b_{11}=\frac {S_{110}}{110}=b_{10}+d=\frac {1}{10}+(-\frac {11}{10})=-1$,

所以$S_{110}=-110$.

方法四 直接利用性质$S_{n}=m,S_{m}=n,S_{m + n}=-(m + n)$,可知$S_{110}=-110$.

【跟踪训练3】
(1)在项数为$2n + 1$的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则$n =$(B)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
(2)等差数列$\{ a_{n}\}$的前$m$项和为30，前$2m$项和为100，求数列$\{ a_{n}\}$的前$3m$项的和$S_{3m}$.

答案：

【跟踪训练3】

(1)B 根据等差数列前n项和的性质可得

$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n + 1}{n}=\frac{165}{150}，$解得n = 10。

(2)解：方法一 在等差数列中，$\because S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m}$成等差数列，$\therefore 30,70,S_{3m}-100$成等差数列。$\therefore 2×70 = 30+(S_{3m}-100)，$$\therefore S_{3m}=210。$

方法二 在等差数列中，$\frac{S_{m}}{m}$，$\frac{S_{2m}}{2m}$，$\frac{S_{3m}}{3m}$成等差数列，$\therefore\frac{2S_{2m}}{2m}=\frac{S_{m}}{m}+\frac{S_{3m}}{3m}$。

即$S_{3m}=3(S_{2m}-S_{m})=3×(100 - 30)=210$。