《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 2】 已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_4=128, a_8=2^{15}$.设 $b_n=\log$$_2$$2 a_n$，
求证:数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，并求其通项公式.

答案： 证明：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，
由已知得$q^4 = \frac{a_8}{a_4} = 2^8$。
∵数列$\{a_n\}$是各项均为正数的等比数列，
∴$q = 4$，
∴$a_1 = \frac{a_4}{q^3} = 2$，
∴$a_n = 2 × 4^{n - 1} = 2^{2n - 1}$。
又
∵$b_n - b_{n - 1} = \log_2 a_n - \log_2 a_{n - 1} = \log_2 4 = 2(n \geq 2)$，
$b_1 = \log_2 a_1 = 1$，
∴数列$\{b_n\}$是以1为首项，2为公差的等差
数列，
∴$b_n = 2n - 1$。

【例 3】 已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=16$，公比 $q=\frac{1}{16}$，在 $\left\{a_n\right\}$ 中每相邻两项之间都插入 3 个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列$\left\{b_n\right\}$.
(1)求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
(2)记数列 $\left\{b_n\right\}$ 前 $n$ 项的乘积为 $T_n$，试问：
$T_n$ 是否有最大值？如果有，请求出此时 $n$ 的值以及最大值；若没有，请说明理由.

答案： 解：
(1)由已知得，数列$\{b_n\}$的首项$b_1 = 16$，
$b_5 = a_2 = 16 × \frac{1}{16} = 1$，
设数列$\{b_n\}$的公比为$q_1(q_1 ＞ 0)$，
即$\frac{b_5}{b_1} = \frac{b_1 q_1^4}{b_1} = q_1^4 = \frac{1}{16}$，
∴$q_1 = \frac{1}{2}$，
即$b_n = b_1 q_1^{n - 1} = 16 × (\frac{1}{2})^{n - 1} = 2^{5 - n}$。
(2)$T_n = b_1 · b_2 · b_3 · ·s · b_n = 2^4 · 2^3 · ·s · 2^{5 - n}$
$= 2^{4 + 3 + 2 + ·s + (5 - n)}$
$= 2^{4n - \frac{n(n - 1)}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}n^2 + \frac{9}{2}n}$
$= 2^{-\frac{1}{2}(n - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{8}}$，
即当$n = 4$或5时，
$T_n$有最大值$2^{-\frac{1}{2} × (4 - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{8}} = 2^{10} = 1024$。

【跟踪训练 3】 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=2$，且 $a_1, a_2, a_5$ 成等比数列.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(2)记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n+1}＞a_n$，求使得 $S_n＞60 n+800$ 成立的 $n$ 的最小值.

答案： 解：
(1)设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
依题意知$2, 2 + d, 2 + 4d$成等比数列，
故有$(2 + d)^2 = 2(2 + 4d)$，
即$d^2 - 4d = 0$，解得$d = 0$或$d = 4$。
当$d = 0$时，$a_n = 2$；
当$d = 4$时，$a_n = 2 + (n - 1) × 4 = 4n - 2$。
(2)因为$a_{n + 1} ＞ a_n$，
所以$\{a_n\}$单调递增，即由
(1)知$a_n = 4n - 2$。
此时，$S_n = \frac{n[2 + (4n - 2)]}{2} = 2n^2$。
令$2n^2 ＞ 60n + 800$，
即$n^2 - 30n - 400 ＞ 0$，解得$n ＞ 40$。
此时存在正整数$n$，使得$S_n ＞ 60n + 800$成立，$n$的最小值为41。