《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题 1】 如果一个数列的前有限项是等差数列,那么这个数列是等差数列吗?

答案： 提示：不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.

【例 1】 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1}=\frac{6a_n - 4}{a_n + 2}$，且$a_1 = 3(n\in\mathbf{N}^*)$.
(1) 证明：数列$\{\frac{1}{a_n - 2}\}$是等差数列；
(2) 求数列$\{a_n\}$的通项公式.

答案：
(1)证明：由$\frac{1}{a_{n + 1} - 2} - 2 = \frac{1}{\frac{6a_n - 4}{a_n + 2} - 2}$
$= \frac{a_n + 2}{(6a_n - 4) - 2(a_n + 2)} = \frac{a_n + 2}{4a_n - 8} = \frac{(a_n - 2) + 4}{4(a_n - 2)} = \frac{1}{a_n - 2} + \frac{1}{4}$，
得$\frac{1}{a_{n + 1} - 2} - \frac{1}{a_n - 2} = \frac{1}{4}, n \in N^*$，
故数列$\{\frac{1}{a_n - 2}\}$是等差数列.
(2)解：由
(1)知$\frac{1}{a_n - 2} = \frac{1}{a_1 - 2} + (n - 1) × \frac{1}{4} = \frac{n + 3}{4}$，
所以$a_n = \frac{2n + 10}{n + 3}, n \in N^*$.