《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 1】 求下列函数的导数：
(1)$y=x^{0} (x \neq 0)$；
(2)$y=(\frac{1}{3})^{x}$；
(3)$y=\lg x$；
(4)$y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$；
(5)$y=2\cos^{2}\frac{x}{2}-1$.

答案： 解：
(1)$y'=0$.
(2)$y'=(\frac{1}{3})^x\ln\frac{1}{3}=-(\frac{1}{3})^x\ln3$.
(3)$y'=-\frac{1}{x\ln10}$.
(4)$\because y=\frac{x^2}{\sqrt{x}}=x^{\frac{3}{2}}$，
$\therefore y'=(x^{\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
(5)$\because y=2\cos^2\frac{x}{2}-1=\cos x$，
$\therefore y'=(\cos x)'=-\sin x$.

【跟踪训练 1】 求下列函数的导数：
(1)$y=x^{-5}$; (2)$y=4^{x}$;
(3)$y=\log_{3}x$; (4)$y=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$.

答案： 解：
(1)$y'=-5x^{-6}$.
(2)$y'=4^x\ln4$.
(3)$y'=\frac{1}{x\ln3}$.
(4)$\because y=\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x$，
$\therefore y'=-\sin x$.

【例 2】（链接教材 P75 例 2）假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 5％，物价$p$（单位：元）与时间$t$（单位：年）之间的关系为$p(t)=p_{0}(1+5\%)^{t}$，其中$p_{0}$为$t=0$时的物价.已知在第 5 个年头，商品价格上涨速度$0.32$元/年.
(1)求$p_{0}$；
(2)第 10 个年头，这种商品价格上涨速度是多少？(精确到$0.01$元/年)
参考数据：$\ln 1.05 \approx 0.05$，$1.05^{5} \approx 1.28$，$1.05^{10} \approx 1.63$.
【总结导通】由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.

答案： 解：
(1)根据基本初等函数的导数公式，
有$p'(t)=p_0 · 1.05^t\ln1.05$，
由$p'(5)=p_0 · 1.05^5\ln1.05=0.32$，得$p_0=5$.
(2)当$p_0=5$时，
$p(t)=5(1+5\%)^t=5 × 1.05^t$.
由导数公式和导数的定义知，
$p'(t)=5 × 1.05^t\ln1.05$.
故当$t=10$时，$p'(10)=5 × 1.05^{10} × \ln1.05 \approx 0.41$.
所以，在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是0.41元/年.