《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 1】 已知数列$\{a_n\}$满足$(a_{n + 1}-1)(a_n - 1)=3(a_n - a_{n + 1})$，$a_2 = 2$，令$b_n=\frac{1}{a_n - 1}$.
(1) 证明：数列$\{b_n\}$是等差数列；
(2) 求数列$\{a_n\}$的通项公式.

答案：
(1)证明：$\because \frac{1}{a_{n + 1} - 1} - \frac{1}{a_n - 1} = \frac{a_n - a_{n + 1}}{(a_{n + 1} - 1)(a_n - 1)} = \frac{1}{3}$，
$\therefore b_{n + 1} - b_n = \frac{1}{3}$，又$b_1 = \frac{1}{a_1 - 1} = 1$，
$\therefore \{b_n\}$是首项为1，公差为$\frac{1}{3}$的等差数列.
(2)解：由
(1)知$b_n = \frac{1}{3}n + \frac{2}{3}$，
$\therefore a_n - 1 = \frac{3}{n + 2}$，
$\therefore a_n = \frac{n + 5}{n + 2}, n \in N^*$.

【问题 2】 如果$\{a_n\}$是等差数列，$a_3 = 5$，$d = 2$，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？

答案： 提示：由定义可知$a_3 = a_1 + 2d$，$a_n = a_1 + (n - 1)d$，两式相减得$a_n - a_3 = (n - 3)d$，即$a_n = a_3 + (n - 3)d$.

【问题 3】 若数列$\{a_n\}$是等差数列，公差为$d$，$m + n = p + q(m,n,p,q\in\mathbf{N}^*)$，则$a_m$，$a_n$，$a_p$，$a_q$这四项之间有什么样的关系？

答案： 提示：由等差数列的定义可知，$a_m = a_1 + (m - 1)d$，$a_n = a_1 + (n - 1)d$，$a_p = a_1 + (p - 1)d$，$a_q = a_1 + (q - 1)d$，容易发现$a_m + a_n = 2a_1 + (m + n - 2)d$，$a_p + a_q = 2a_1 + (p + q - 2)d$，
因为$m + n = p + q$，故有$a_m + a_n = a_p + a_q$.

1. 设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则
(1) $a_n = dn+(a_1 - d)(n\in\mathbf{N}^*)$.
(2) $a_n = a_m+$(n - m)d$(m,n\in\mathbf{N}^*)$.
(3) $d=\frac{a_n - a_m}{n - m}(m,n\in\mathbf{N}^*$，且$m\neq n)$.

答案： 1.
(2)(n - m)d

2. 下标性质：在等差数列$\{a_n\}$中，若$m + n = p + q(m,n,p,q\in\mathbf{N}^*)$，则$a_m + a_n=$a_p + a_q.
特别地，若$m + n = 2p(m,n,p\in\mathbf{N}^*)$，则有$a_m + a_n=$2a_p.

答案： 2.$a_p + a_q \frac{2a_p}{} $