《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例1】 (1) 已知数列$\{ a_n \}$满足$a_1 = 1$，且$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$. 则数列$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n =$$\frac{1}{n}$.
(2) 已知数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，满足$a_{n+1} = 2a_n + 1$，且$a_1 + 2a_2 = a_3$. 求数列$\{ a_n \}$的通项公式.
【总结导通】给出数列的方式有多种，以递推公式的形式给出是很常见的情况，通常是转化为等差或等比数列求出通项. 常用方法为待定系数法、倒数法等方法.

答案：
(1)$\frac{1}{n}$ 因为$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}$，
所以$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} + 1$，即$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = 1$，
所以数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是首项为$1$，公差为$1$的等差数列，
所以$\frac{1}{a_{n}} = n$，$a_{n} = \frac{1}{n}$.
选择性第二册·数学
(2)解：$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1$，
即$a_{n + 1} + 1 = 2a_{n} + 2$，$\frac{a_{n + 1} + 1}{a_{n} + 1} = 2$，
因为$a_{1} + 2a_{2} = a_{3}$，
$a_{3} = 2a_{2} + 1$，
所以$a_{1} = 1$，$a_{1} + 1 = 2$，
则数列$\{a_{n} + 1\}$是以$2$为首项，$2$为公比的等比
数列，
所以$a_{n} + 1 = 2^{n}$，$a_{n} = 2^{n} - 1$.

【跟踪训练1】 已知数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 1$，且$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1 (n \in \mathbb{N}^*)$，正项等比数列$\{ b_n \}$中，$b_1 = 1$且$2b_{n+2} = b_{n+1} + 3b_n (n \in \mathbb{N}^*)$. 求数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}$的通项公式.

答案： 解：由$a_{n + 1} = \frac{1}{2}a_{n} + 1$，
得$a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2}(a_{n} - 2)$，
又$a_{1} = 1$，即$a_{1} - 2 = - 1 \neq 0$，
所以$a_{n} - 2 \neq 0$，
从而$\frac{a_{n + 1} - 2}{a_{n} - 2} = \frac{1}{2}$，
所以数列$\{a_{n} - 2\}$是等比数列，首项为$- 1$，公比
为$\frac{1}{2}$，
则$a_{n} - 2 = - (\frac{1}{2})^{n - 1}$，
即$a_{n} = 2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}$，
设等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，
由$2b_{n + 2} = b_{n + 1} + 3b_{n}$，得$2q^{2} = q + 3$，
解得$q = - 1$或$q = \frac{3}{2}$，
因为$b_{n} ＞ 0$，
所以$q ＞ 0$，从而$q = \frac{3}{2}$，又$b_{1} = 1$，
所以$b_{n} = (\frac{3}{2})^{n - 1}$.