《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题4】结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？

答案： 提示：
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
符号表示$ a_{n}-a_{n-1}=d(n\geq2,n\in N^{*}) \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q(n\geq2,n\in N^{*})$
通项公式$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d a_{n}=a_{1}q^{n-1}$
类比 差$\to$商；和$\to$积，积$\to$乘方
等差数列首项$a_{1}，$公差d 等比数列首项$a_{1}，$公比q
把等差数列前k项去掉，得到一个以$a_{k+1}$为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以$a_{k+1}$为首项，以q为公比的等比数列
等差数列中，$a_{k}，$$a_{k+m},a_{k+2m}·s$是以公差为md的等差数列 等比数列中，$a_{k}，$$a_{k+m},a_{k+2m}·s$是以公比为$q^{m}$的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列

3. 若$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$是项数相同的等比数列，公比分别是$p$和$q$，那么$\{ a_{n}b_{n}\}$与$\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$也都是等比数列，公比分别为pq和$\frac{p}{q}$.

答案： 3.pq

【例3】已知$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$都是等比数列，那么 (C)

A.$\{ a_{n}+b_{n}\}$，$\{ a_{n}b_{n}\}$都一定是等比数列
B.$\{ a_{n}+b_{n}\}$一定是等比数列，但$\{ a_{n}b_{n}\}$不一定是等比数列
C.$\{ a_{n}+b_{n}\}$不一定是等比数列，但$\{ a_{n}b_{n}\}$一定是等比数列
D.$\{ a_{n}+b_{n}\}$，$\{ a_{n}b_{n}\}$都不一定是等比数列

答案： C 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.
两个等比数列的积一定是等比数列.

[跟踪训练3]
设$\{ a_{n}\}$是各项为正数的无穷数列，$A_{i}$是长和宽分别为$a_{i},a_{i + 1}$的矩形面积$(i = 1,2,·s)$，则$\{ A_{n}\}$为等比数列的充要条件为 (D)

A.$\{ a_{n}\}$是等比数列
B.$a_{1},a_{3},·s,a_{2n - 1},·s$或$a_{2},a_{4},·s,a_{2n},·s$是等比数列
C.$a_{1},a_{3},·s,a_{2n - 1},·s$和$a_{2},a_{4},·s,a_{2n},·s$均是等比数列
D.$a_{1},a_{3},·s,a_{2n - 1},·s$和$a_{2},a_{4},·s,a_{2n},·s$均是等比数列，且公比相同
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答案： D 因为$A_{i}$是长和宽分别为$a_{i},a_{i+1}$的矩形面积(i=1,2,·s)，所以$A_{i}=a_{i}a_{i+1}(i=1,2,3,·s,n,·s)，$
则数列$\{A_{n}\}$的通项为$A_{n}=a_{n}a_{n+1}.$根据等比数列的定义，
数列$\{A_{n}\}(n=1,2,3,·s)$为等比数列的充要条件是$\frac{A_{n+1}}{A_{n}}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_{n}a_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q($常数).