《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】根据上节课所学，等差数列的前$n$项和公式有什么样的函数特点？

答案： 提示：由$S$_________${ n } = n a$_________${ 1 } + \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } d$，可知$S$_________${ n } = \frac { d } { 2 } n ^ { 2 } + ( a$_________${ 1 } - \frac { d } { 2 } ) n$，当$d \neq 0$时，$S$_________${ n }$是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是$n \in \mathbf { N } ^ { * }$，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为$S$_________${ n } = A n ^ { 2 } + B n ( A , B \in \mathbf { R } )$．

等差数列前$n$项和的最值
(1)在等差数列$\{ a_{n}\}$中，
当$a_{1}＞0,d＜0$时，$S_{n}$有最 ______ 值，使$S_{n}$取得最值的$n$可由不等式组$\left\{\begin{matrix} a_{n}\geqslant 0,\\ a_{n + 1} \leqslant 0 \end{matrix}\right.$确定；
当$a_{1}＜0,d＞0$时，$S_{n}$有最 ______ 值，使$S_{n}$取得最值的$n$可由不等式组$\left\{\begin{matrix} a_{n} \leqslant 0,\\ a_{n + 1} \geqslant 0 \end{matrix}\right.$确定.
(2)$S_{n} = \frac{d}{2}n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})n$，若$d \neq 0$，则从二次函数的角度看：当$d＞0$时，$S_{n}$有最值；当$d＜0$时，$S_{n}$有最值.当$n$取最接近对称轴的正整数时，$S_{n}$取到最值.

答案：
(1)大 小
(2)小 大

【例2】在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 25,S_{8} = S_{18}$，求前$n$项和$S_{n}$的最大值.

答案：

【例 2】解:

方法一 因为$S_{8}=S_{18},a_{1}=25$，

所以$8×25+\frac {8×(8 - 1)}{2}d=18×25+\frac {18×(18 - 1)}{2}d$，解得$d = - 2$。

所以$S_{n}=25n+\frac {n(n - 1)}{2}×( - 2)= - n^{2}+26n=-(n - 13)^{2}+169$。

所以当$n = 13$时，$S_{n}$有最大值为$169$。

方法二 同方法一，求出公差$d = - 2$。

所以$a_{n}=25+(n - 1)×( - 2)= - 2n+27$。

因为$a_{1}=25\gt0$，

由$\begin{cases}a_{n}=-2n + 27\geq0\\a_{n + 1}=-2(n + 1)+27\leq0\end{cases}$得$\begin{cases}n\leq13\frac{1}{2}\\n\geq12\frac{1}{2}\end{cases}$。

又因为$n\in N^{*}$，

所以当$n = 13$时，$S_{n}$有最大值为$169$。

方法三 因为$S_{8}=S_{18}$，

所以$a_{9}+a_{10}+·s+a_{18}=0$。

由等差数列的性质得$a_{13}+a_{14}=0$。

因为$a_{1}\gt0$，所以$d\lt0$。

所以$a_{13}\gt0,a_{14}\lt0$。

所以当$n = 13$时，$S_{n}$有最大值。

由$a_{13}+a_{14}=0$，得$a_{1}+12d+a_{1}+13d=0$，

解得$d = - 2$，

所以$S_{13}=13×25+\frac {13×12}{2}×( - 2)=169$，

所以$S_{n}$的最大值为$169$。

方法四 设$S_{n}=An^{2}+Bn$。

因为$S_{8}=S_{18},a_{1}=25$，

所以二次函数图象的对称轴为$n=\frac {8 + 18}{2}=13$，

且开口方向向下，

所以当$n = 13$时，$S_{n}$取得最大值。

由题意得$\begin{cases}8^{2}A + 8B=18^{2}A+18B\\A + B=25\end{cases}$，

解得$\begin{cases}A=-1\\B = 26\end{cases}$，

所以 $ S_{n}=-n^{2}+26n $，

所以 $ S_{13}=169 $，

即 $ S_{n} $ 的最大值为 $ 169 $。

【跟踪训练2】在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1} = 20$，前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{10} = S_{16}$，则当$n =$13时，$S_{n}$取得最大值.

答案： 【跟踪训练 2】13 由$S_{n}=An^{2}+Bn$为二次函数具有对称性，$S_{10}=S_{16}$，对称轴为$\frac{10 + 16}{2}=13$，故$S_{13}$最大。