《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 已知各项不为 0 的等差数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{6} - a_{7}^{2} + a_{8} = 0$，则$a_{7}$等于 (D)

A.1
B.8
C.4
D.2

答案： 1.D 由题意得$2a_7-a^2_7=0$，
解得$a_7=2$或$a_7=0$(舍去)．

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = \frac{2}{3}$,$a_{n + 1} = a_{n} + a_{n} · a_{n + 1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$等于(D)

A.$\frac{3n}{3n - 1}$
B.$\frac{3n - 1}{3n}$
C.$\frac{5 - n}{2}$
D.$\frac{2}{5 - n}$

答案： 2.D 由$a_{n+1}=a_n+a_n· a_{n+1}$，
得$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=-1$．
又$\frac{1}{a_1}=\frac{3}{2}$，所以数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，公差为$-1$的等差数列，
所以$\frac{1}{a_n}=\frac{3}{2}-(n-1)=\frac{5}{2}-n$，所以$a_n=\frac{2}{5-2n}$．

3. 若等差数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = 5$,$a_{m} = 3$，则$a_{m + 2}$等于 (B)

A.13
B.$3 - \frac{4}{m - 1}$
C.$3 - \frac{2}{m - 1}$
D.$5 - \frac{2}{m - 1}$

答案： 3.B 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
因为$a_1=5$，$a_m=3$，
所以$d=\frac{a_m-a_1}{m-1}=\frac{-2}{m-1}$．
所以$a_{m+2}=a_m+2d=3+\frac{-4}{m-1}$．

4. (1) 三个数成等差数列，这三个数的和为 6，积为 -24，则这三个数为$-2$，$2$，$6$或$6$，$2$，$-2$.
(2) “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首 “竹筒容米” 问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6 升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为3.4升.

答案： 4.
(1)-2，2，6或6，2，-2 设这三个数分别为a-d，a，a+d．
由题意可得\begin{cases}(a-d)+a+(a+d)=6,\a-d)· a·(a+d)=-24,\end{cases}
解得$\begin{cases}a=2,\\d=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=2,\\d=-4\end{cases}．$
故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2．
(2)3.4升 设从下至上各节的容积分别为$a_1，$$a_2，$·s，$a_9，$由题意知$a_n$为等差数列，公差为d，
因为$\begin{cases}a_1+a_2+a_3=6.6,\\a_6+a_7+a_8+a_9=4.4,\end{cases}$故$\begin{cases}3a_1+3d=6.6,\\4a_1+26d=4.4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=2.4,\\d=-0.2,\end{cases}$
所以中间节$a_4+a_5=2a_1+7d=3.4．$

【问题1】请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花， 花.
深浅， 芬葩.
凝为雪， 错为霞.
莺和蝶到， 苑占宫遮.
已迷金谷路， 频驻玉人车.
芳草欲陵芳树， 东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？

答案： 提示:诗中文字有对称性;S=2+4+6+8+10+12+14=2×(1+2+3+4+5+6+7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.