《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练1】(1)在$14$与$\frac{7}{8}$之间插入$n$个数,组成所有项的和为$\frac{77}{8}$的等比数列,求此数列的项数.
(2)①若$a_{2} - a_{1} = 1$,$a_{3} - a_{1} = 3$,求等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$;
②在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$S_{3} = \frac{13}{9}$,$S_{6} = \frac{364}{9}$,求$a_{n}$.

答案： 解：
(1)设此数列的公比为$q$(易知$q\neq1$)，
则$\begin{cases}\frac{7}{8}=14q^{n+1},\frac{77}{8}=\frac{14-\frac{7}{8}q}{1-q}\\\end{cases}$解得$q=\frac{1}{2}$，$n=3$，
故此数列共有5项.
(2)①设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，由已知，
得$\begin{cases}a_{2}-a_{1}=a_{1}(q-1)=1,\\a_{3}-a_{1}=a_{1}(q^{2}-1)=3,\\\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q=2,\\\end{cases}$
$\therefore S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=2^{n}-1$.
②由题意知$S_{6}\neq2S_{3}$，则$q\neq1$.
又$S_{3}=\frac{13}{9}$，$S_{6}=\frac{364}{9}$，
故$\begin{cases}\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=\frac{13}{9},①\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}=\frac{364}{9},②\\\end{cases}$
②$÷$①，得$1+q^{3}=28$，解得$q=3$.
可求得$a_{1}=\frac{1}{9}$，
故$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=3^{n-3}$.

【问题3】你能发现等比数列前$n$项和公式$S_{n} = \frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}(q \neq 1)$的函数特征吗?

答案： 提示：$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}=-\frac{a_{1}}{1-q}q^{n}+\frac{a_{1}}{1-q}$，设$A=-\frac{a_{1}}{1-q}$，则$S_{n}=Aq^{n}-A$.

1.当公比$q \neq 1$时,设$A = \frac{a_{1}}{q - 1}$,等比数列的前$n$项和公式是$S_{n} =$$Aq^{n}-A$.即$S_{n}$是$n$的指数型函数.

答案： 1.$Aq^{n}-A$

2.当公比$q = 1$时,因为$a_{1} \neq 0$,所以$S_{n} =$$na_{1}$,$S_{n}$是$n$的正比例函数.

答案： 2.$na_{1}$