《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 3】 用数学归纳法证明 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{2n} (n \in \mathbf{N}^*)$.

答案： 证明：
(1)当n=1时，左边=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$，右
边=$\frac{1}{2}$，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，命题成立，即
1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$，
那么当n=k+1时，
左边=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$-$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$-$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{2k+2}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{(k+1)+1}$+$\frac{1}{(k+1)+2}$+…+$\frac{1}{(k+1)+k}$+$\frac{1}{2(k+1)}$.
上式表明当n=k+1时，命题也成立.
由
(1)
(2)知，命题对一切正整数均成立.

【跟踪训练 3】 用数学归纳法证明凸 $n$ 边形的对角线的条数 $f(n) = \frac{1}{2}n(n - 3) (n \geqslant 4)$.

答案： 证明：①当n=4时，f
(4)=$\frac{1}{2}$×4×(4-3)=2，四边形有两条对角线，命题成立.
②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)=$\frac{1}{2}$k(k-3).
当n=k+1时，凸k+1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A_{k+1}，增加的对角线条数是顶点A_{k+1}与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A₁A_{k}，共增加的对角线条数为(k+1-3)+1=k-1.
f(k+1)=$\frac{1}{2}$k(k-3)+k-1=$\frac{1}{2}$(k²-k-2)
=$\frac{1}{2}$(k+1)(k-2)=$\frac{1}{2}$(k+1)[(k+1)-3].
故当n=k+1时，命题成立.
由①②可知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立.

1. 用数学归纳法证明 $1 + q + q^2 + ·s + q^{n + 1} = \frac{q^{n + 2} - 1}{q - 1} (n \in \mathbf{N}^*, q \neq 1)$, 在验证 $n = 1$ 等式成立时, 等式左边的式子是 (C)

A.$1$
B.$1 + q$
C.$1 + q + q^2$
D.$1 + q + q^2 + q^3$

答案： 1.C 当n=1时，左边=1+q+q¹+1=1+q+q².

2. 已知 $n$ 为正偶数, 用数学归纳法证明 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} = 2 (\frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 4} + ·s + \frac{1}{2n})$ 时, 若已假设 $n = k (k \geqslant 2)$ 为偶数时命题为真, 则还需要用归纳假设再证 (B)

A.$n = k + 1$ 时等式成立
B.$n = k + 2$ 时等式成立
C.$n = 2k + 2$ 时等式成立
D.$n = 2(k + 2)$ 时等式成立

答案： 2.B 因为n为正偶数，所以当n=k时，下一个偶数为k+2.