《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】 由等差数列的定义可知，如果$1,x,3$这三个数是等差数列，你能求出$x$的值吗？

答案： 提示：由定义可知$x - 1 = 3 - x$，即$2x = 1 + 3$，$x = 2$.

由三个数$a$，A，$b$组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做$a$与$b$的______，且______.

答案： 等差中项 $2A = a + b$

【例2】 (1)若$a = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} ,b =\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$，则$a,b$的等差中项为 (A)
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)已知$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$是等差数列，求证：$\frac{b + c}{a},\frac{a + c}{b},\frac{a + b}{c}$也是等差数列.

答案：
(1)A 由题意知$a$，$b$的等差中项为$\frac{1}{2} × (\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}) = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3}$.
(2)证明：$\because \frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，
$\therefore \frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$，即$2ac = b(a + c)$.
$\therefore \frac{b + c}{a} + \frac{a + b}{c} = \frac{c(b + c) + a(a + b)}{ac} = \frac{a^2 + c^2 + b(a + c)}{ac} = \frac{a^2 + c^2 + 2ac}{ac} = \frac{2(a + c)^2}{b(a + c)} = \frac{2(a + c)}{b}$，
$\therefore \frac{b + c}{a}$，$\frac{a + b}{c}$成等差数列.

【跟踪训练2】 (1)(链接教材P15T2)已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_1$与$a_2$的等差中项为1，$a_2$与$a_3$的等差中项为2，则公差$d$$= \underline{\hspace{2em}}$.
(2)在$- 1$与$7$之间顺次插入三个数$a,b,c$使这五个数成等差数列，求此数列.

答案：
(1)1 $\because \{a_n\}$是等差数列，
$\therefore a_2 - a_1 = d$，$a_3 - a_2 = d$，
两式相加得$a_3 - a_1 = 2d$，
又$a_1$与$a_2$的等差中项为1，$a_2$与$a_3$的等差中项为2，
$\therefore a_1 + a_2 = 2$，$a_2 + a_3 = 4$，两式相减可得$a_3 - a_1 = 4 - 2$，则$2d = 4 - 2$，解得$d = 1$.
(2)解：$\because -1$，$a$，$b$，$c$，7成等差数列，$\therefore b$是$-1$与7的等差中项，$\therefore b = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.
又$a$是$-1$与$b$的等差中项，
$\therefore a = \frac{-1 + b}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.
又$c$是$b$与7的等差中项，
$\therefore c = \frac{b + 7}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
$\therefore$该数列为$-1$，1，3，5，7.