《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例3】 在数列$\{ a_{n}\} $中,$a_{1}=1$,且对于任意的$m,n∈N^{*}$,都有$a_{m+n}=a_{m}+a_{n}+mn$,求数列$\{ a_{n}\} $的通项公式.

答案： 解：对于任意的m,n∈N^*，都有$a_{m + n}=a_m + a_n + mn，$
令m = 1，得$a_{n + 1}=a_n + n + 1，$
则$a_{n + 1}-a_n = n + 1，$
∴$a_2 - a_1 = 2，$$a_3 - a_2 = 3，$⋯，$a_n - a_{n - 1}=n，$
∴$(a_2 - a_1)+(a_3 - a_2)+⋯+(a_n - a_{n - 1})$
=2 + 3 + 4 + ⋯+n，
又$a_1 = 1，$
∴$a_n=1 + 2 + 3 + ⋯+n=\frac{n(n + 1)}{2}$

[跟踪训练3] 设数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n},$$a_{1}=2$,且$S_{n}$满足$2S_{n}=(n+1)a_{n},n∈N^{*}.$求数列$\{ a_{n}\} $的通项公式.

答案： 解：当n≥2时，2S_n=(n + 1)a_n，
$2S_{n - 1}=na_{n - 1}，$
两式相减，$2a_n=(n + 1)a_n - na_{n - 1}，$
整理可得$\frac{a_n}{n}=\frac{a_{n - 1}}{n - 1}，$
而$\frac{a_1}{1}=2，$
所以$\{\frac{a_n}{n}\}$是首项为2，公比为1的等比数列，
故$\frac{a_n}{n}=2，$即a_n=2n，n∈N^*.