《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题 2】如果已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+n$，如何求 $a_{4}$？

答案： 提示：$a_4=S_4 - S_3=(4^2 + 4)-(3^2 + 3)=8$.

1. 把数列 $\{ a_{n}\}$ 从第 $1$ 项起到第 $n$ 项止的各项之和，称为数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，记作 $S_{n}$，即 $S_{n}=$$a_1+a_2+·s+a_n$。

答案： $a_1+a_2+···+a_n$

【例 4】（链接教材 P8T4）(1) 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+\dfrac {1}{2}n + 1$，求通项 $a_{n}$；
(2) 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+·s +na_{n}=n^{2}(n\in \mathbf{N}^{*})$，求数列 $\{ a_{n}\}$ 的通项公式。

答案： 解：
(1)当$n\geq2$时，$a_n=S_n - S_{n - 1}=(n^2+\frac{1}{2}n + 1)-[(n - 1)^2+\frac{1}{2}(n - 1)+1]=2n-\frac{1}{2}$.
当$n=1$时，$a_1=S_1=1^2+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$不符合
上式.
$\therefore a_n=\begin{cases}\frac{5}{2},n = 1,\\2n-\frac{1}{2},n\geq2.\end{cases}$
(2)由$a_1+2a_2+3a_3+·s+na_n=n^2$，①
当$n\geq2$时，可得$a_1+2a_2+3a_3+·s+(n - 1)·a_{n - 1}=(n - 1)^2$，②
所以由①$-$②得$na_n=n^2-(n - 1)^2=2n - 1$，
即$a_n=2-\frac{1}{n}(n\geq2)$，
当$n=1$时，$a_1=1$也满足上式，
所以$a_n=2-\frac{1}{n}(n\in N^*)$.

【跟踪训练 4】
已知 $S_{n}$ 是数列 $\{ a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，根据条件求 $a_{n}$。
(1) $S_{n}=2n^{2}+3n + 2$；
(2) $S_{n}=3^{n}-1$。

答案： 解：
(1)当$n=1$时，$a_1=S_1=7$，
当$n\geq2$时，$a_n=S_n - S_{n - 1}=2n^2+3n + 2-[2(n - 1)^2+3(n - 1)+2]=4n + 1$，又$a_1=7$不适合上式，
所以$a_n=\begin{cases}7,n = 1,\\4n + 1,n\geq2.\end{cases}$
(2)当$n=1$时，$a_1=S_1=2$，
当$n\geq2$时，$a_n=S_n - S_{n - 1}=3^n - 1-(3^{n - 1}-1)=2×3^{n - 1}$，显然$a_1=2$适合上式，
所以$a_n=2×3^{n - 1}(n\in N^*)$.