《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题1】 导数$f^{\prime}(x_0)$的几何意义是什么?

答案：
提示:我们知道导数f'(x₀)表示函数y =f(x)在x=x₀处的瞬时变化率,反映了函数y =f(x)在x=x₀附近的变化情况,如下图.
　　　　　
　　　　　　
容易发现,平均变化率=$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$表示的是割线P₀P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P₀点时，割线P₀P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P₀T称为曲线y=f(x)在点P₀处的切线，因此函数y=f(x)在x=x₀处的导数f'(x₀)就是切线P₀T 的斜率k₀,即k₀=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$=f'(x₀)，这就是导数的几何意义.

函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的几何意义是曲线$y = f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率. 也就是说，曲线$y = f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率是$f^{\prime}(x_0)$. 相应地，切线方程为$y−f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x−x_0)$.

答案： 切线的斜率　f'(x₀)　y−f(x₀)=f'(x₀)(x−x₀)

【例1】 已知曲线$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}$.
(1)求曲线在点$P(2,4)$处的切线方程;
(2)求曲线过点$P(2,4)$的切线方程.

答案： 解:
(1)
∵P(2,4)在曲线y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
　　k=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{\frac{1}{3}(2+\Delta x)^3+\frac{4}{3}-(\frac{1}{3}×2^3+\frac{4}{3})}{\Delta x}$
　=lim$_{\Delta x \to 0}$[4+2$\Delta x$+$\frac{1}{3}$($\Delta x$)²]=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y−4=4(x −2),
　即4x−y−4=0.
(2)设曲线y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$与过点P(2,4)的切线相切于点A(x₀,$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$),则切线的斜率为
　　k=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{\frac{1}{3}(x_0+\Delta x)^3-\frac{1}{3}x_0^3}{\Delta x}$=x₀²,
∴切线方程为y−($\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$)=x₀²(x−x₀),即y=x₀²x−$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4=2x₀²−$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$,即x₀³−3x₀²+4=0.
∴x₀³+x₀²−4x₀²+4=0,
∴x₀²(x₀+1)−4(x₀+1)(x₀−1)=0,
∴(x₀+1)(x₀−2)²=0,
　解得x₀=−1或x₀=2.
　故所求的切线方程为x−y+2=0或4x−y−4 =0.