《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练1】(1)已知等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，其和为$- 240$，且$(a_{1} + a_{3} + ·s + a_{2n - 1}) - (a_{2} + a_{4} + ·s + a_{2n}) = 80$，则公比$q =$2.
(2)记等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{4} = 3,S_{8} = 9$，则$S_{12}$等于 (C)
A.$12$
B.$18$
C.$21$
D.$27$

答案：
(1)$2$ 由题意知$S_{奇}+S_{偶}=-240$，$S_{奇}-S_{偶}=80$，
$\therefore S_{奇}=-80$，$S_{偶}=-160$，
$\therefore q=\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=2$.
(2)$C$ 方法一 因为$S_n$为等比数列$\{a_n\}$的前$n$
项和，且$S_4=3$，$S_8=9$，易知等比数列$\{a_n\}$的公
比$q\neq-1$，所以$S_4$，$S_8-S_4$，$S_{12}-S_8$成等比
数列，所以$(S_8-S_4)^2=S_4(S_{12}-S_8)$，所以$6^2=3(S_{12}-9)$，解得$S_{12}=21$.
方法二 由方法一知，$S_4$，$S_8-S_4$，$S_{12}-S_8$成等
比数列，即$3$，$6$，$12$成等比数列，所以$S_{12}=S_4+(S_8-S_4)+(S_{12}-S_8)=3+6+12=21$.

【例3】(链接教材P38例11)某商店采用分期付款的方式促销一款每台价格为$6000$元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的$\frac{1}{3}$，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为$0.5\%$.
(1)到第一个月底，货主在第一次还款之前欠商店多少元?
(2)假设货主每月还商店$a$元，写出在第$i(i = 1,2,·s,36)$个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式;
(3)每月的还款额为多少元(精确到$0.01$)?

答案： 解：
(1)购买电脑时，货主未支付的货款为
$6000×\left(1-\frac{1}{3}\right)=4000$（元），
按月利率$0.5\%$到第一个月底的欠款金额应为
$4000×(1+0.5\%)=4020$（元），
即到第一个月底，欠款金额为$4020$元.
(2)设第$i$个月底还款后的欠款金额为$y_i$元，
则有$y_1=4000(1+0.5\%)-a$，
$y_2=y_1(1+0.5\%)-a=4000(1+0.5\%)^2-a(1+0.5\%)-a$，
$y_3=y_2(1+0.5\%)-a=4000(1+0.5\%)^3-a(1+0.5\%)^2-a(1+0.5\%)-a$，
……
$y_i=y_{i-1}(1+0.5\%)-a=4000(1+0.5\%)^i-a(1+0.5\%)^{i-1}-a(1+0.5\%)^{i-2}-·s-a$，
整理得$y_i=4000(1+0.5\%)^i-\frac{a\left[(1+0.5\%)^i-1\right]}{0.5\%}(i=1,2,·s,36)$.
(3)因为$y_{36}=0$，
所以$4000(1+0.5\%)^{36}-\frac{a\left[(1+0.5\%)^{36}-1\right]}{0.5\%}=0$，
即每月还款额$a=\frac{4000(1+0.5\%)^{36}×0.5\%}{(1+0.5\%)^{36}-1}\approx121.69$（元），
所以每月的还款额约为$121.69$元.

【跟踪训练2】《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共$17$卷，书中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是:有一个人要到距离出发地$378$里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了$6$天后到达目的地.那么该人第$1$天所走路程里数为(C)

A.$96$
B.$126$
C.$192$
D.$252$

答案： $C$ 由题意得，该人每天走的路程
形成以$a_1$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
因为该人$6$天后到达目的地，则有
$S_6=\frac{a_1\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^6\right]}{1-\frac{1}{2}}=378$，
解得$a_1=192$，
所以该人第$1$天所走路程里数为$192$.