《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 3】 已知抛物线 $f(x) = x^2 - 2x + 3$，求与 $2x - y + 4 = 0$ 平行的该曲线的切线方程.

答案： 解：设切点坐标为$(x_0,x_0^2-2x_0+3)$，
故$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{(x_0+\Delta x)^2-2(x_0+\Delta x)+3-x_0^2+2x_0-3}{\Delta x}=2x_0-2+\Delta x$，
所以切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(2x_0-2+\Delta x)=2x_0 -2$，
故有$2x_0-2=2$，解得$x_0=2$，所以切点坐标为$(2,3)$，所求切线方程为$2x-y-1=0$.

【跟踪训练 3】 求抛物线 $f(x) = x^2 - x$ 在点 $(2, 2)$ 处的切线方程.

答案： 解：$f(2+\Delta x)-f(2)=(2+\Delta x)^2-(2+\Delta x)-2=3\Delta x+(\Delta x)^2$，
所以切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(3+\Delta x)=3$.
则切线方程为$y-2=3(x-2)$，即$3x-y-4=0$.

1.某一质点运动规律 $s = t^2 + 3$，则在时间 $[3, 3 + \Delta t]$ 内相应的平均速度为 (A)

A.$6 + \Delta t$
B.$6 + \Delta t + \frac{9}{\Delta t}$
C.$3 + \Delta t$
D.$9 + \Delta t$

答案： 1.A $\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(3+\Delta t)-s(3)}{\Delta t}=\frac{(3+\Delta t)^2-9}{\Delta t}=6+\Delta t$.

2. 一质点按运动方程 $s(t) = \frac{1}{t}$ 作直线运动，则其从 $t_1 = 1$ 到 $t_2 = 2$ 的平均速度为 (B)

A.$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$2$

答案： 2.B $\bar{v}=\frac{s(2)-s(1)}{2-1}=\frac{\frac{1}{2}-1}{1}=-\frac{1}{2}$.

3. 已知函数 $f(x) = 2x^2 - 4$ 的图象上两点 A，B，且 $x_A = 1$，$x_B = 1.1$，则函数 $f(x)$ 从 A 点到 B 点的平均变化率为 (C)

A.4
B.$4x$
C.4.2
D.4.02

答案： 3.C $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\frac{-1.58-(-2)}{1.1-1}=4.2$.

4. 抛物线 $y = x^2 + 4$ 在点 $(1, 5)$ 处的切线的斜率为2.

答案： 4.2 $k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^2+4-5}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(\Delta x+2)=2$.