《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2. (1)求下列各式的值：
①$\sqrt[3]{(-2)^3}$；②$\sqrt{(-9)^2}$；
③$(\sqrt[5]{2})^5$；④$\sqrt{x^2 + 2xy + y^2}$.
(2)若 $\sqrt{9a^2 - 6a + 1} = 3a - 1$，求实数 $a$ 的取值范围.

答案： 2.
(1)解:①$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2$.
②$\sqrt{(-9)^{2}}=\mid -9\mid=9$.
③$(\sqrt[5]{2})^{5}=2$.
④$\sqrt{x^{2}+2xy + y^{2}}=\sqrt{(x + y)^{2}}=\mid x + y\mid$
$=\begin{cases}x + y,x + y\geqslant0,\\ -x - y,x + y＜0.\end{cases}$
(2)解:$\because\sqrt{9a^{2}-6a + 1}=\sqrt{(3a - 1)^{2}}=\mid 3a - 1\mid$,
由$\mid 3a - 1\mid=3a - 1$,可知$3a - 1\geqslant0$,
$\therefore a\geqslant\frac{1}{3}$.故实数$a$的取值范围为$[\frac{1}{3},+\infty)$.

例 3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)$\sqrt[3]{a} · \sqrt[6]{a}$；
(2)$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$；
(3)$\sqrt[3]{a^2} · \sqrt{a^3}$；
(4)$(\sqrt[3]{a})^2 · \sqrt{ab^3}$.

答案： 例3 [解]
(1)原式$=a^{\frac{1}{3}}· a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$.
(2)原式$=a^{\frac{1}{3}}· a^{\frac{1}{3}}· a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3}}$。
(3)原式$=a^{\frac{1}{3}}· a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$.
(4)原式$=(a^{\frac{1}{3}})^{2}· a^{\frac{1}{2}}· b^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.

3. (1)用根式的形式表示下列各式($x ＞ 0,y ＞ 0$)：
①$x^{\frac{3}{4}}$；②$x^{- \frac{2}{3}}$；③$x^{- \frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}$.
(2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
①$\sqrt[3]{a} · \sqrt[6]{(-a)}(a ＜ 0)$；②$(\sqrt[6]{b^{\frac{5}{3}}})^{\frac{3}{5}}(b ＜ 0)$；
③$\frac{1}{\sqrt[3]{x(\sqrt[5]{x^2})^2}}(x \neq 0)$.

答案： 3.
(1)解:①$x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x^{2}}$.
②$x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$.
③$x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{y}{x^{}}}$.
(2)解:①原式$=a^{\frac{1}{3}}·(-a)^{\frac{1}{6}}=-(-a)^{\frac{1}{3}}·(-a)^{\frac{1}{6}}$
$=-(-a)^{\frac{1}{2}}(a＜0)$.
②原式$=(-b)×\frac{1}{b}=(-b)×\frac{1}{b}(b＜0)$.
③原式$=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}· x^{\frac{1}{3}}×\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{-\frac{1}{3}}$.

例 4 计算下列各式：
(1)$(2\frac{3}{5})^0 + 2^{-2} × (2\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2}} - 0.01^{0.5}$；
(2)$\sqrt{6\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{0.0625} + [(0.064^{\frac{1}{3}})^{-2.5}]^{\frac{3}{4}} - \pi^0$；
(3)$(\frac{1}{4})^{- \frac{1}{2}} × \frac{(\sqrt{4ab^{-1}})^3}{0.1^{-2}(a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$.

答案： 例4 [解]
(1)原式$=1+\frac{1}{4}×(\frac{4}{9})-(\frac{1}{100})=1+\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{10}=\frac{16}{15}$.
(2)原式$=(\frac{25}{4})-(\frac{27}{8})+(\frac{625}{10000})+(\frac{64}{1000})$
$-1=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+(\frac{2}{5})-1 = 3$.
(3)原式$=\frac{4^{\frac{1}{4}}×4^{\frac{1}{4}}}{100}· a^{\frac{1}{3}}· a^{-\frac{1}{3}}· b^{-\frac{1}{3}}· b^{\frac{1}{3}}=-\frac{4}{25}a^{0}b^{0}=\frac{4}{25}$.