《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例1 写出下列全称量词命题的否定.
(1)对所有正数$x$，$\sqrt{x}＞x+1$；
(2)所有被$5$整除的整数都是奇数；
(3)每一个平行四边形都是中心对称图形.

答案： 例1 [解]
(1)该命题的否定为：存在正数$x$，$\sqrt{x}\leqslant x + 1$.
(2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数.
(3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形.

1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)不论$m$取何实数，方程$x^{2}+x-m=0$必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角.

答案： 1.解：
(1)该命题可以表述为“对所有的实数$m$，方程$x^{2}+x - m = 0$有实数根”，其否定是“存在实数$m$，使得$x^{2}+x - m = 0$没有实数根”.因为当$\Delta=1^{2}-4×1×(-m)=1 + 4m＜0$，即$m＜-\frac{1}{4}$时，一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$没有实数根，所以该命题的否定是真命题.
(2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知该命题的否定是假命题.
(3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为$180^{\circ}$知该命题的否定为假命题.

例2 写出下列命题的否定.
(1)有一个奇数不能被$3$整除；
(2)有些三角形的三个内角都是$60^{\circ}$；
(3)$\exists x\in\mathbf{R},|x+1|\leqslant1$.

答案： 例2 [解]
(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”.
(2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是$60^{\circ}$”.
(3)该命题的否定为“$\forall x\in\mathbf{R}$，$\mid x + 1\mid＞1$”.

2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有的素数是偶数；
(2)$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+x+\frac{1}{4}\neq0$；
(3)至少有一个实数$x$，使$x^{3}+1=0$.

答案： 2.解：
(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数.
(2)该命题的否定为“$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$”，是假命题，因为当$x = 1$时，$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\neq0$.
(3)该命题的否定为“$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{3}+1\neq0$”，是假命题，因为当$x = -1$时，$x^{3}+1 = 0$.