《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2.判断下列命题的真假：
(1)任何实数都有平方根；
(2)存在有理数$x$，使$x^2 - 2 = 0$；
(3)$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^2 - x + 1＞0$；
(4)$\exists x\in\mathbf{Z}$，$3x + 4 = 5$.

答案： 2.解：
(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题.
(2)因为方程x²-2=0没有有理根，所以该命题为假命题.
(3)因为$x²-x+1=(x-\frac{1}{2})²+\frac{3}{4}＞0$恒成立，所以该命题为真命题.
(4)因为3x+4=5不存在整数解，所以该命题为假命题.

例3 (1)已知命题“$\exists - 3\leqslant x\leqslant2$，$5a + x - 2 = 0$”为真命题，则实数$a$的取值范围是{a|0≤a≤1}.
(2)已知集合$A = \{x\mid - 3\leqslant x\leqslant4\}$，$B = \{x\mid 2a - 1\leqslant x\leqslant a + 1\}$，且$B\neq\varnothing$.
①若命题$p$：“$\forall x\in B$，$x\in A$”是真命题，求$a$的取值范围；
②若命题$q$：“$\exists x\in A$，$x\in B$”是真命题，求$a$的取值范围.

答案： 例3
(1)[解析] 由5a+x-2=0，得5a-2=-x，
∵-3≤x≤2，
∴-2≤-x≤3，
∴-2≤5a-2≤3，即0≤a≤1.
故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
[答案] {a|0≤a≤1}
(2)[解] ①由于命题p：“∀x∈B,x∈A”是真命题，所以B⊆A，
又B≠∅，所以$\begin{cases}2a-1≤a+1,\\2a-1≥-3,\\a+1≤4,\end{cases}$解得-1≤a≤2，
所以a的取值范围为{a|-4≤a≤2}（此处原书答案印刷错误，应为{a|-1≤a≤2} ）.

3.(1)已知命题$p$：存在$x\in\mathbf{R}$，$x^2 + 3x + a = 0$.若$p$为真命题，则实数$a$的取值范围是${a|a≤\frac{9}{4}}$.
(2)已知集合$A = \{x\mid 1\leqslant x\leqslant2\}$，若命题“$\forall x\in A$，一次函数$y = x + m$的图象在$x$轴上方”是真命题，则实数$m$的取值范围是{m|m＞-1}.

答案： 3.
(1)答案$:\begin{cases}a\mid a\leq\frac{9}{4}\end{cases}$
解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x²+3x+a=0有实根，所以Δ=3²-4a≥0，解得$a≤\frac{9}{4}，$故实数a的取值范围是$\begin{cases}a\mid a\leq\frac{9}{4}\end{cases}.$
(2)答案:{m|m＞-1}
解析：当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m，因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，所以1+m＞0，即m＞-1，所以实数m的取值范围是{m|m＞-1}.