《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

5.(1)若$\alpha$为第三象限角，试判断$90^{\circ}-\alpha$的终边所在的象限.
(2)若$\alpha$为第四象限角，试判断$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限.

答案：
5.
(1)解：因为$\alpha$为第三象限角，
所以$180^{\circ}+k·360^{\circ}＜\alpha＜270^{\circ}+k·360^{\circ},k\in\mathbf{Z}$，
则$-180^{\circ}-k·360^{\circ}＜-90^{\circ}-\alpha＜-90^{\circ}-k·360^{\circ},k\in\mathbf{Z}$，
所以$90^{\circ}-\alpha$的终边在第三象限.
(2)解：解法一：因为$\alpha$为第四象限角，
所以$-90^{\circ}+k·360^{\circ}＜\alpha＜k·360^{\circ},k\in\mathbf{Z}$，
所以$-45^{\circ}+k·180^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜k·180^{\circ},k\in\mathbf{Z}$.
当$k=2n,n\in\mathbf{Z}$时，$-45^{\circ}+n·360^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜n·360^{\circ},n\in\mathbf{Z}$，$\frac{\alpha}{2}$是第四象限角；
当$k=2n+1,n\in\mathbf{Z}$时，$135^{\circ}+n·360^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜180^{\circ}+n·360^{\circ},n\in\mathbf{Z}$，$\frac{\alpha}{2}$是第二象限角.
综上，$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限是第二或第四象限.
解法二：如图，将每个象限二等分，再从$x$轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则标号为Ⅳ的区域即为$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的区域，可知$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限是第二或第四象限.

1.射线$OA$绕端点$O$逆时针旋转$120^{\circ}$到达$OB$位置，由$OB$位置绕端点$O$旋转到达$OC$位置，得$\angle AOC = -150^{\circ}$，则射线$OB$旋转的方向与角度分别为 (B)

A.逆时针，$270^{\circ}$
B.顺时针，$270^{\circ}$
C.逆时针，$30^{\circ}$
D.顺时针，$30^{\circ}$

答案： 1.B　[$\because$由题意可得$\angle AOB = 120^{\circ}$，设$\angle BOC=\theta$，$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=120^{\circ}+\theta=-150^{\circ}$，解得$\theta=-270^{\circ}$，所以射线$OB$绕端点$O$顺时针旋转$270^{\circ}$.故选B.]

2.下列选项中与角$\alpha = 1680^{\circ}$终边相同的角是 (C)

A.$120^{\circ}$
B.$-240^{\circ}$
C.$-120^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 2.C　[$\because$与$\alpha=1680^{\circ}$终边相同的角为$\beta=1680^{\circ}+k·360^{\circ}$，$k\in\mathbf{Z}$，当$k=-5$时，$\beta=1680^{\circ}-5×360^{\circ}=-120^{\circ}$，C符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.故选C.]

3.若角$\alpha$的终边在$y$轴的非正半轴上，则角$\alpha - 150^{\circ}$的终边在 (B)

A.第一象限
B.第二象限
C.$y$轴的非负半轴上
D.$x$轴的非正半轴上

答案： 3.B　[$\because$因为角$\alpha$的终边在$y$轴的非负半轴上，所以$\alpha=k·360^{\circ}+270^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$，所以$\alpha - 150^{\circ}=k·360^{\circ}+270^{\circ}-150^{\circ}=k·360^{\circ}+120^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$，所以角$\alpha - 150^{\circ}$的终边在第二象限.故选B.]

4.$-285^{\circ}$角是第一象限角.

答案： 4.答案：一
解析：$\because-285^{\circ}=-360^{\circ}+75^{\circ}$，而$75^{\circ}$角是第一象限角，
$\therefore-285^{\circ}$角是第一象限角.

5.已知角$\alpha$的终边在如图阴影区域表示的范围内(不包含边界)，那么角$\alpha$的集合是$\{\alpha|k·360^{\circ}+30^{\circ}＜\alpha＜k·360^{\circ}+135^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$.

答案： 5.答案：$\{\alpha|k·360^{\circ}+30^{\circ}＜\alpha＜k·360^{\circ}+135^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
解析：观察图形可知，角$\alpha$的集合是$\{\alpha|k·360^{\circ}+30^{\circ}＜\alpha＜k·360^{\circ}+135^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$.