《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 一艘动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货. 若每次拖4只小船，则每天能往返运货16次；若每次拖7只小船，则每天能往返运货10次. 已知增加的小船只数与相应减少的往返运货次数成正比例. 设每次拖x只小船，每天往返运货y次，则y关于x的函数关系式为$y = - 2x + 24(0 ＜ x ＜ 12$，$x\in\mathbf{Z})$；为使每天运货总重量最大，则每次应该拖6只小船.

答案： 1.答案：$y = - 2x + 24(0 ＜ x ＜ 12$，$x\in\mathbf{Z})$ 6

例2 荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱. 某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本$ f(x) $万元，且$ f(x)=\begin{cases} x^{2}-14x+27,x＜10, \\ 5x+\dfrac{225}{x}-88,x\geqslant 10, \end{cases} $若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的$ x(x\in [6,16]) $吨荆州鱼糕均能售完.
(1)求该厂家2025年的利润$ g(x) $(单位：万元)的函数解析式；
(2)当该厂家2025年的产量为多少吨时，所获年利润最大？最大年利润是多少？

答案： 例2 [解]
(1)由题意知，荆州鱼糕的售价为$40$元/千克，
则$1$吨荆州鱼糕的售价为$40×10^{3}=40000$元，即$4$万元，
当$x\in[6,10)$时，$g(x)=4x-(x^{2}-14x + 27)-3=-x^{2}+18x - 30$，
当$x\in[10,16]$时，$g(x)=4x-(5x+\frac{225}{x}-88)-3=-x-\frac{225}{x}+85$，
故该厂家$2025$年的利润$g(x)$的函数解析式为
$g(x)=\begin{cases}-x^{2}+18x - 30,6\leq x＜10,\\-x-\frac{225}{x}+85,10\leq x\leq16.\end{cases}$
(2)当$x\in[6,10)$时，$g(x)=-x^{2}+18x - 30=-(x - 9)^{2}+51$，
当$x = 9$时，$g(x)$取得最大值$g(9)=51$；
当$x\in[10,16]$时，$g(x)=-x-\frac{225}{x}+85=85-(x+\frac{225}{x})\leq85 - 2\sqrt{x·\frac{225}{x}}=85 - 30 = 55$，
当且仅当$x=\frac{225}{x}$，即$x = 15$时，等号成立，
即当$x = 15$时，$g(x)$取得最大值$g(15)=55$，
因为$51＜55$，
所以当该厂家$2025$年的产量为$15$吨时，所获年利润最大，最大年利润是$55$万元.