《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例2 已知函数$f(x)=x^{2}-2ax + 2$，$x\in[-1,1]$，求函数$f(x)$的最小值.

答案：
[解] $f(x)=x^{2}-2ax + 2=(x - a)^{2}+2 - a^{2},x \in [-1,1]$.
当$a\geqslant 1$时，函数$f(x)$的图象如图1中实线所示，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上单调递减，最小值为$f(1)=3 - 2a$；
当$-1 ＜ a ＜ 1$时，函数$f(x)$的图象如图2中实线所示，函数$f(x)$在区间$[-1,a)$上单调递减，在区间$[a,1]$上单调递增，最小值为$f(a)=2 - a^{2}$；
当$a\leqslant -1$时，函数$f(x)$的图象如图3中实线所示，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上单调递增，最小值为$f(-1)=3 + 2a$.

综上所述，$f(x)_{\min}=\begin{cases}3 - 2a,a\geqslant 1\\2 - a^{2},-1 ＜ a ＜ 1\\3 + 2a,a\leqslant -1\end{cases}$.

例3 已知函数$f(x)=x^{2}-2x + 2$，$x\in[t,t + 1]$，$t\in\mathbf{R}$的最小值为$g(t)$，求$g(t)$的函数表达式.

答案：
[解] $f(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1,x \in [t,t + 1],t \in \mathbf{R}$.
当$t + 1 ＜ 1$，即$t ＜ 0$时，函数$f(x)$的图象如图1中实线所示，函数$f(x)$在区间$[t,t + 1]$上单调递减，所以最小值$g(t)=f(t + 1)=t^{2}+1$；
当$t\leqslant 1\leqslant t + 1$，即$0\leqslant t\leqslant 1$时，函数$f(x)$的图象如图2中实线所示，最小值$g(t)=f(1)=1$；
当$t ＞ 1$时，函数$f(x)$的图象如图3中实线所示，函数$f(x)$在区间$[t,t + 1]$上单调递增，所以最小值$g(t)=f(t)=t^{2}-2t + 2$.
　　 　　
综上可得，$g(t)=\begin{cases}t^{2}+1,t ＜ 0\\1,0\leqslant t\leqslant 1\\t^{2}-2t + 2,t ＞ 1\end{cases}$.

1. 已知函数$f(x)=x^{2}-2x-3$，
(1)若$x\in[0,2]$，求函数$f(x)$的最值；
(2)若$x\in[t,t + 2]$，求函数$f(x)$的最值.

答案： 解：
(1)$\because$函数$f(x)=x^{2}-2x - 3$图象的开口向上，对称轴为直线$x = 1$，
$\therefore f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$(1,2]$上单调递增，且$f(0)=f(2)$.
$\therefore f(x)_{\max}=f(0)=f(2)=-3,f(x)_{\min}=f(1)=-4$.
(2)由
(1)知，函数$f(x)$图象的对称轴为直线$x = 1$，
(ⅰ)当$t + 2\leqslant 1$，即$t\leqslant -1$时，
$f(x)_{\max}=f(t)=t^{2}-2t - 3$，
$f(x)_{\min}=f(t + 2)=t^{2}+2t - 3$.
(ⅱ)当$\frac{t + 2}{2}\leqslant 1＜t + 2$，即$-1 ＜ t\leqslant 0$时，
$f(x)_{\max}=f(t)=t^{2}-2t - 3$，
$f(x)_{\min}=f(1)=-4$.
(ⅲ)当$t\leqslant 1＜\frac{t + 2}{2}$，即$0 ＜ t\leqslant 1$时，
$f(x)_{\max}=f(t + 2)=t^{2}+2t - 3$，
$f(x)_{\min}=f(1)=-4$.
(ⅳ)当$t ＞ 1$时，
$f(x)_{\max}=f(t + 2)=t^{2}+2t - 3$，
$f(x)_{\min}=f(t)=t^{2}-2t - 3$.
设函数$f(x)$的最大值为$g(t)$，最小值为$\varphi(t)$，
则有$g(t)=\begin{cases}t^{2}-2t - 3,t\leqslant 0\\t^{2}+2t - 3,t ＞ 0\end{cases}$，$\varphi(t)=\begin{cases}t^{2}+2t - 3,t\leqslant -1\\-4,-1 ＜ t\leqslant 1\\t^{2}-2t - 3,t ＞ 1\end{cases}$.

2. 已知函数$f(x)=x-2a\sqrt{x}+3$，$x\in[0,1]$，求函数$f(x)$的最小值.

答案：
解：设$\sqrt{x}=t,t \in [0,1]$，则$x - 2a\sqrt{x}+3=t^{2}-2at + 3$.$\varphi(t)=t^{2}-2at + 3$的图象开口向上，且对称轴为直线$t = a$.
当$a\geqslant 1$时，函数$\varphi(t)$的图象如图1中实线所示，函数$\varphi(t)$在区间$[0,1]$上单调递减，最小值为$\varphi(1)=4 - 2a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$\varphi(t)$的图象如图2中实线所示，函数$\varphi(t)$在区间$[0,1]$上先单调递减后单调递增，最小值为$\varphi(a)=3 - a^{2}$；
当$a\leqslant 0$时，函数$\varphi(t)$的图象如图3中实线所示，函数$\varphi(t)$在区间$[0,1]$上单调递增，最小值为$\varphi(0)=3$.

综上所述，$f(x)_{\min}=\begin{cases}4 - 2a,a\geqslant 1\\3 - a^{2},0 ＜ a ＜ 1\\3,a\leqslant 0\end{cases}$.