《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例1 (1)函数$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$的图象经过点$(1,e)$，则函数$f(x)$的反函数$g(x)=$$\ln x$ .
(2)已知函数$f(x)=\log_{3}x$与$y = g(x)$互为反函数，则$g(2)=$9 .

答案： 例1（1）[解析] 由题可得，$a = e$，故$f(x)=e^{x}$，其定义域为$\mathrm{R}$，值域为$(0,+\infty)$，故$f(x)$的反函数为$g(x)=\ln x$.
[答案] $\ln x$
（2）[解析] 由对数函数的反函数为同底数的指数函数可得$g(x)=3^{x}$，故$g(2)=3^{2}=9$.
[答案] 9

1.(1)函数$f(x)$与函数$g(x)$互为反函数，若$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$，且$x\in(0,+\infty)$，则函数$g(x)$的定义域为
(C)
A.$(0,+\infty)$
B.$\mathbf{R}$
C.$(0,1)$
D.$(1,+\infty)$
(2)函数$y = \log_{4}x$的反函数为$y = 4^{x}$ ，它们的图象关于直线$y = x$ 对称.

答案： 1.（1）C $\because$当$x\in(0,+\infty)$时，$(\frac{1}{2})^{x}\in(0,1)$，$\therefore$函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$，$x\in(0,+\infty)$的值域为$(0,1)$，又$f(x)$与$g(x)$互为反函数，故函数$g(x)$的定义域为$(0,1)$. 故选C.
（2）答案：$y = 4^{x}$ $y = x$
解析：函数$y=\log_{4}x$和函数$y = 4^{x}$互为反函数，$y=\log_{4}x$和$y = 4^{x}$的图象关于直线$y = x$对称.

例2 求下列函数的值域：
(1)$y=\log_{2}(x^{2}+4)$；
(2)$y=\log_{\frac{1}{2}}(3 + 2x - x^{2})$.
【感悟提升】形如$y = \log_{a}f(x)(a＞0$，且$a\neq1)$的函数的值域的求解步骤
(1)分解成$y = \log_{a}u$，$u = f(x)$两个函数.
(2)求$f(x)$的定义域.
(3)求$u$的取值范围.
(4)利用$y = \log_{a}u$的单调性求解.
注意：当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.

答案： 例2 [解] （1）$y=\log_{2}(x^{2}+4)$的定义域是$\mathrm{R}$.
因为$x^{2}+4\geqslant4$，
所以$\log_{2}(x^{2}+4)\geqslant\log_{2}4 = 2$.
所以$y=\log_{2}(x^{2}+4)$的值域为$[2,+\infty)$.
（2）设$u = 3 + 2x - x^{2}=-(x - 1)^{2}+4\leqslant4$.
因为$u＞0$，
所以$0＜u\leqslant4$.
又$y=\log_{\frac{1}{2}}u$在$(0,4]$上为减函数，
所以$\log_{\frac{1}{2}}u\geqslant\log_{\frac{1}{2}}4 = -2$，
所以$y=\log_{\frac{1}{2}}(3 + 2x - x^{2})$的值域为$[-2,+\infty)$.

2.求函数$f(x)=\log_{3}(x^{2}+2x + 4)$的值域.

答案： 【跟踪训练】
2.解：令$u = x^{2}+2x + 4$，
则$u=(x + 1)^{2}+3\geqslant3$.
所以$\log_{3}(x^{2}+2x + 4)\geqslant\log_{3}3 = 1$，
即函数$f(x)=\log_{3}(x^{2}+2x + 4)$的值域为$[1,+\infty)$.