《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例2 设函数$f(x)=\begin{cases} x^2 +4x+3,-4\leq x＜0, \\ -x+3,x\geq 0, \end{cases}$
画出函数$f(x)$的图象，并指出函数的单调区间.

答案：
例2 [解] 函数$f(x)$的图象如图所示，

由图象可知，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-2,0)$，单调递减区间为$(-4,-2)$和$(0,+\infty)$.

2.作出函数$f(x)=\begin{cases} -x-3,x\leq 1, \\ (x-2)^2 +3,x＞1 \end{cases}$的图象，并指出函数的单调区间.

答案：
2.解：函数$f(x)=\begin{cases}-x - 3,x \leq 1, \\ (x - 2)^2 + 3,x ＞ 1.\end{cases}$的图象如图所示，

由图可知，函数$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,1]$和$(1,2)$，单调递增区间为$[2,+\infty)$.

例3 (1)已知函数$f(x)=x^2 +4x+c$，则(D)
A.$f(1)＜c＜f(-2)$
B.$c＜f(-2)＜f(1)$
C.$c＞f(1)＞f(-2)$
D.$f(1)＞c＞f(-2)$
(2)已知函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数，且$f(2x-3)＞f(5x-6)$，则$x$的取值范围为$(-\infty,1)$.

答案： 例3
(1)[解析] 因为二次函数$f(x)=x^2 + 4x + c$图象的对称轴为直线$x = -2$，且开口向上，所以函数$f(x)$在$[-2,+\infty)$上单调递增，所以$f(-2)$＜$f(0)$＜$f(1)$，又$f(0)=c$，所以$f(1)$＞$c$＞$f(-2)$.
[答案] D
(2)[解析] 因为函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数，且$f(2x - 3)$＞$f(5x - 6)$，所以$2x - 3$＞$5x - 6$，即$x$＜$1$，所以$x$的取值范围为$(-\infty,1)$.
[答案] $(-\infty,1)$

3.(1)已知函数$f(x)=x^2 +bx+c$的图象的对称轴为直线$x=2$，则$f(1)$，$f(2)$，$f(4)$的大小关系为$f(2)$＜$f(1)$＜$f(4)$.
(2)已知函数$y=f(x)$的定义域为$[-1,4]$，且$\forall x_1$，$x_2\in[-1,4]$，$x_1\neq x_2$，都有$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_2 - x_1}＞0$，若$f(3)=0$，则不等式$xf(x)\leq 0$的解集为$[-1,0] \cup [3,4]$.
角度2 利用单调性求参数的取值范围

答案： 3.
(1)答案：$f(2)$＜$f(1)$＜$f(4)$
解析：由题意知函数$f(x)$的图象的对称轴为直线$x = 2$，故$f(1)=f(3)$，由题意知$f(x)$在$[2,+\infty)$上单调递增，所以$f(2)$＜$f(3)$＜$f(4)$，即$f(2)$＜$f(1)$＜$f(4)$.
(2)答案：$[-1,0] \cup [3,4]$
解析：由题意，知$y = f(x)$在定义域$[-1,4]$上单调递减，且$f(3)=0$，所以在$[-1,3)$上，$f(x)$＞$0$，在$(3,4]$上，$f(x)$＜$0$，所以当$-1 \leq x \leq 0$时，$f(x)$＞$0$，当$0$＜$x$＜$3$时，$f(x)$＞$0$，当$3 \leq x \leq 4$时，$f(x) \leq 0$，由$xf(x) \leq 0$，可得解集为$[-1,0] \cup [3,4]$.