《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(1)中国“神舟二十号”宇宙飞船的飞行速度$v$不小于第一宇宙速度$7.9\mathrm{km/s}$，且小于第二宇宙速度$11.2\mathrm{km/s}$，表示为.
(2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过$1000$万元的资金购买单价分别为$40$万元、$90$万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买$5$辆，B型汽车至少买$6$辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).

答案： 【跟踪训练】
1.（1）答案：7.9≤v＜11.2
解析：“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v
＜11.2。
（2）解：设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆，
$\begin{cases}40x + 90y \leq 1000,\\x \geq 5,\\y \geq 6,\\x,y \in \mathbb{N}_+.\end{cases}$

例2 (1)已知$x\in \mathbf{R}$，比较$x^{2}+3$与$3x$的大小.
(2)已知$a,b,c\in \mathbf{R}$，证明：$5a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant2ab + 4a + 2c - 2$.

答案： 例2（1）[解]$\because (x^2 + 3) - 3x = x^2 - 3x + 3 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} ＞ 0$，$\therefore x^2 + 3 ＞ 3x$。
（2）[证明]$\because 5a^2 + b^2 + c^2 - (2ab + 4a + 2c - 2) = 4a^2 - 4a + 1 + a^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2c + 1 = (2a - 1)^2 + (a - b)^2 + (c - 1)^2 \geq 0$，
$\therefore 5a^2 + b^2 + c^2 \geq 2ab + 4a + 2c - 2$，
当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$，且$c = 1$时，等号成立。